Упр.1.21 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Задача

Найдите наименьшее натуральное значение $$n$$, начиная с которого все члены указанной последовательности лежат в указанной окрестности точки 0, и выскажите предположение о том, чему равен предел последовательности:

а) $$y_n=\frac{2}{n}$$, $$(-0{,}2; 0{,}2)$$;
б) $$y_n=\frac{1}{n+2}$$, $$(-0{,}1; 0{,}1)$$;
в) $$y_n=\frac{2}{n^2+1}$$, $$(-0{,}5; 0{,}5)$$;
г) $$y_n=\frac{3}{n}$$, $$(-0{,}3; 0{,}3)$$;
д) $$y_n=\frac{2}{n+2}$$, $$(-0{,}5; 0{,}5)$$;
е) $$y_n=\frac{1}{n^2-1}$$, $$(-0{,}1; 0{,}1)$$.

Подробный ответ

а) $$y_n=\frac{2}{n}, \quad y_n\in(-0{,}2;0{,}2)$$
Нужно, чтобы выполнялось неравенство
$$\frac{2}{n}<0{,}2$$
$$0{,}2n>2$$
$$n>10$$
Наименьшее натуральное $$n=11$$. Следовательно, $$\lim\limits_{n\to\infty} y_n=0$$.
б) $$y_n=\frac{1}{n+2}, \quad y_n\in(-0{,}1;0{,}1)$$
Требуется:
$$\frac{1}{n+2}<0{,}1$$
$$0{,}1n+0{,}2>1$$
$$0{,}1n>0{,}8$$
$$n>8$$
Наименьшее натуральное $$n=9$$. Значит, $$\lim\limits_{n\to\infty} y_n=0$$.
в) $$y_n=\frac{2}{n^2+1}, \quad y_n\in(-0{,}5;0{,}5)$$
Имеем:
$$\frac{2}{n^2+1}<0{,}5$$
$$0{,}5n^2+0{,}5>2$$
$$0{,}5n^2>1{,}5$$
$$n^2>3$$
$$n>\sqrt{3}$$
Наименьшее натуральное $$n=2$$. Следовательно, $$\lim\limits_{n\to\infty} y_n=0$$.
г) $$y_n=\frac{3}{n}, \quad y_n\in(-0{,}3;0{,}3)$$
Нужно, чтобы
$$\frac{3}{n}<0{,}3$$
$$0{,}3n>3$$
$$n>10$$
Наименьшее натуральное $$n=11$$. Значит, $$\lim\limits_{n\to\infty} y_n=0$$.
д) $$y_n=\frac{2}{n+2}, \quad y_n\in(-0{,}5;0{,}5)$$
Требуется:
$$\frac{2}{n+2}<0{,}5$$
$$0{,}5n+1>2$$
$$0{,}5n>1$$
$$n>2$$
Наименьшее натуральное $$n=3$$. Следовательно, $$\lim\limits_{n\to\infty} y_n=0$$.
е) $$y_n=\frac{1}{n^2-1}, \quad y_n\in(-0{,}1;0{,}1)$$
Имеем:
$$\frac{1}{n^2-1}<0{,}1$$
$$0{,}1n^2-0{,}1>1$$
$$0{,}1n^2>1{,}1$$
$$n^2>11$$
$$n>\sqrt{11}$$
Наименьшее натуральное $$n=4$$. Значит, $$\lim\limits_{n\to\infty} y_n=0$$.