Упр.1.20 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Задача

а) r = 10; г) r = 1;
б) r = 5; д) r = 0,1;
в) r = 2; е) r = 0,01. Вычислите:
а) log_5(0,5)/(log_5(32)-log_5(4)); в) log_2(1,5)/(log_8(7,5)+log_8(0,3));
б) (log_4(75)-log_2(5))/(log_4(18)+log_4(0,5)); г) (log_4(27)-2log_4(3))/(log_4(30)+log_4(0,3)).

Подробный ответ

Для последовательности

$$x_n=\frac{10n+21}{n+1}=10+\frac{11}{n+1}$$

так как $$\frac{11}{n+1}>0,$$ то все члены последовательности больше 10. Чтобы они принадлежали окрестности точки 10 радиусом $$r,$$ нужно, чтобы выполнялось

$$10-r<x_n<10+r.$$

Так как $$x_n>10,$$ достаточно решить неравенство

$$10+\frac{11}{n+1}<10+r,$$

то есть

$$\frac{11}{n+1}<r.$$

Отсюда находим наименьшее натуральное $$n$$ для каждого значения $$r$$:

$$r=10:\quad \frac{11}{n+1}<10 \Rightarrow n>0{,}1,$$ значит, $$n_{\min}=1;$$
$$r=5:\quad \frac{11}{n+1}<5 \Rightarrow n>1{,}2,$$ значит, $$n_{\min}=2;$$
$$r=2:\quad \frac{11}{n+1}<2 \Rightarrow n>4{,}5,$$ значит, $$n_{\min}=5;$$
$$r=1:\quad \frac{11}{n+1}<1 \Rightarrow n>10,$$ значит, $$n_{\min}=11;$$
$$r=0{,}1:\quad \frac{11}{n+1}<0{,}1 \Rightarrow n>109,$$ значит, $$n_{\min}=110;$$
$$r=0{,}01:\quad \frac{11}{n+1}<0{,}01 \Rightarrow n>1099,$$ значит, $$n_{\min}=1100.$$

Вычислим значения логарифмических выражений.

а)

$$\frac{\log_5 0{,}5}{\log_5 32-\log_5 4} =\frac{\log_5 \frac12}{\log_5 8} =\frac{-\log_5 2}{\log_5 2^3} =\frac{-\log_5 2}{3\log_5 2} =-\frac13.$$

б)

$$\frac{\log_4 75-\log_2 5}{\log_4 18+\log_4 0{,}5} =\frac{\log_4 75-\log_4 25}{\log_4 18+\log_4 0{,}5} =\frac{\log_4 3}{\log_4 9} =\log_9 3 =\frac12.$$

в)

$$\frac{\log_2 1{,}5}{\log_8 7{,}5+\log_8 0{,}3} =\frac{\log_2 1{,}5}{\log_8 2{,}25} =\frac{3\log_8 1{,}5}{\log_8 2{,}25} =3\log_{2{,}25}1{,}5 =3\cdot\frac12 =\frac32.$$

г)

$$\frac{\log_4 27-2\log_4 3}{\log_4 30+\log_4 0{,}3} =\frac{\log_4 27-\log_4 9}{\log_4 30+\log_4 0{,}3} =\frac{\log_4 3}{\log_4 9} =\log_9 3 =\frac12.$$