Упр.1.2 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

1. По заданной формуле $$n$$-го члена последовательности вычислите первые пять ее членов:
   а) $$y_n=\sin\frac{\pi n}{2}$$;
   б) $$x_n=\operatorname{tg}\frac{(-1)^{n+1}\pi n}{4}$$;
   в) $$a_n=\frac{1}{n}+\frac{(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)}{n!}$$;
   г) $$y_n=\cos(\pi n)$$;
   д) $$x_n=\operatorname{ctg}\frac{(-1)^n\pi n}{4}$$;
   е) $$a_n=\frac{1}{n}+n(n+1)(n+2)$$.

1. а) $$y_n=\sin\frac{\pi n}{2}$$

   $$y_1=\sin\frac{\pi}{2}=1,$$
   $$y_2=\sin\pi=0,$$
   $$y_3=\sin\frac{3\pi}{2}=-1,$$
   $$y_4=\sin2\pi=0,$$
   $$y_5=\sin\frac{5\pi}{2}=1.$$

2. б) $$x_n=\tg\left((-1)^{n+1}\frac{\pi n}{4}\right)$$

   $$x_1=\tg\frac{\pi}{4}=1,$$
   $$x_2=\tg\left(-\frac{\pi}{2}\right)\text{ — не существует},$$
   $$x_3=\tg\frac{3\pi}{4}=-1,$$
   $$x_4=\tg(-\pi)=0,$$
   $$x_5=\tg\frac{5\pi}{4}=1.$$

3. в) $$a_n=\frac{1}{n}+\frac{(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)}{n!}$$

   $$a_1=1+\frac{0\cdot(-1)\cdot(-2)\cdot(-3)}{1!}=1,$$
   $$a_2=\frac12+\frac{1\cdot0\cdot(-1)\cdot(-2)}{2!}=\frac12,$$
   $$a_3=\frac13+\frac{2\cdot1\cdot0\cdot(-1)}{3!}=\frac13,$$
   $$a_4=\frac14+\frac{3\cdot2\cdot1\cdot0}{4!}=\frac14,$$
   $$a_5=\frac15+\frac{4\cdot3\cdot2\cdot1}{5!}=\frac15+\frac15=\frac25.$$

4. г) $$y_n=\cos\pi n$$

   $$y_1=\cos\pi=-1,$$
   $$y_2=\cos2\pi=1,$$
   $$y_3=\cos3\pi=-1,$$
   $$y_4=\cos4\pi=1,$$
   $$y_5=\cos5\pi=-1.$$

5. д) $$x_n=\ctg\left((-1)^n\frac{\pi n}{4}\right)$$

   $$x_1=\ctg\left(-\frac{\pi}{4}\right)=-1,$$
   $$x_2=\ctg\frac{\pi}{2}=0,$$
   $$x_3=\ctg\left(-\frac{3\pi}{4}\right)=1,$$
   $$x_4=\ctg\pi\text{ — не существует},$$
   $$x_5=\ctg\left(-\frac{5\pi}{4}\right)=-1.$$

6. е) $$a_n=\frac{1}{n}+n(n+1)(n+2)$$

   $$a_1=1+1\cdot2\cdot3=7,$$
   $$a_2=\frac12+2\cdot3\cdot4=\frac12+24=24\frac12,$$
   $$a_3=\frac13+3\cdot4\cdot5=\frac13+60=60\frac13,$$
   $$a_4=\frac14+4\cdot5\cdot6=\frac14+120=120\frac14,$$
   $$a_5=\frac15+5\cdot6\cdot7=\frac15+210=210\frac15.$$

Ответ

а) $$1,\,0,\,-1,\,0,\,1$$;
б) $$1,\ \text{не существует},\ -1,\ 0,\ 1$$;
в) $$1,\,\frac12,\,\frac13,\,\frac14,\,\frac25$$;
г) $$-1,\,1,\,-1,\,1,\,-1$$;
д) $$-1,\,0,\,1,\ \text{не существует},\,-1$$;
е) $$7,\,24\frac12,\,60\frac13,\,120\frac14,\,210\frac15$$.