Упр.1.18 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Задача

Укажите номера тех членов последовательности $$a_n=-3+0{,}1n$$, которые принадлежат окрестности точки $$a$$ радиусом $$r$$:
а) $$a=-3,\ r=0{,}2$$;
б) $$a=-3,\ r=0{,}1$$;
в) $$a=-3,\ r=0{,}5$$;
г) $$a=-2,\ r=0{,}2$$;
д) $$a=4,\ r=?^{-2}$$;
е) $$a=?,\ r=0{,}15$$.
Постройте и прочитайте график функции:
а) $$y=0{,}5x-3+\operatorname{tg}(x)\cdot\operatorname{ctg}(x)$$;
б) $$y=\frac{vx}{\operatorname{tg}(x)\cdot\operatorname{ctg}(x)}$$;
в) $$y=\frac{1}{3}x+3-2\operatorname{tg}(x)\cdot\operatorname{ctg}(x)$$;
г) $$y=\frac{v(x+4)}{\operatorname{tg}(x)\cdot\operatorname{ctg}(x)}$$.

Подробный ответ

Используем определение окрестности точки: член последовательности $$a_n=-3+0{,}1n$$ принадлежит окрестности точки $$a$$ радиуса $$r$$, если

$$a-r<a_n<a+r.$$

а) $$a=-3,\ r=0{,}2$$
$$-3{,}2<-3+0{,}1n<-2{,}8$$
$$-0{,}2<0{,}1n<0{,}2$$
$$-2<n<2.$$
Подходит только $$n=1.$$
б) $$a=-3,\ r=0{,}1$$
$$-3{,}1<-3+0{,}1n<-2{,}9$$
$$-0{,}1<0{,}1n<0{,}1$$
$$-1<n<1.$$
Натуральных чисел нет.
в) $$a=-3,\ r=0{,}5$$
$$-3{,}5<-3+0{,}1n<-2{,}5$$
$$-0{,}5<0{,}1n<0{,}5$$
$$-5<n<5.$$
Подходят $$n=1,2,3,4.$$
г) $$a=-2,\ r=0{,}2$$
$$-2{,}2<-3+0{,}1n<-1{,}8$$
$$0{,}8&lt{,}0{,}1n<1{,}2$$
$$8<n<12.$$
Подходят $$n=9,10,11.$$
д) $$a=4,\ r=\pi^{-2}$$
$$\pi^{-2}=\frac{1}{\pi^2}\approx 0{,}101.$$
$$3{,}899<-3+0{,}1n<4{,}101$$
$$6{,}899<0{,}1n<7{,}101$$
$$68{,}99<n<71{,}01.$$
Подходят $$n=69,70,71.$$
е) $$a=\pi,\ r=0{,}15$$
$$\pi-r\approx 2{,}99,\qquad \pi+r\approx 3{,}29.$$
$$2{,}99<-3+0{,}1n<3{,}29$$
$$5{,}99<0{,}1n<6{,}29$$
$$59{,}9<n<62{,}9.$$
Подходят $$n=60,61,62.$$

Для построения графиков используем тождество $$\tg x\cdot \ctg x=1$$ там, где обе функции определены.

а) $$y=0{,}5x-3+\tg x\cdot \ctg x=0{,}5x-2.$$
Область определения:
$$x\ne \frac{\pi}{2}+\pi n,\qquad x\ne \pi n,\qquad n\in \mathbb{Z}.$$
График — прямая $$y=0{,}5x-2$$ с выколотыми точками в тех значениях $$x$$, где выражение не определено.
б) $$y=\frac{\sqrt{x}}{\tg x\cdot \ctg x}=\sqrt{x}.$$
Область определения:
$$x\ge 0,\qquad x\ne \frac{\pi}{2}+\pi n,\qquad x\ne \pi n,\qquad n\in \mathbb{Z}.$$
График — график функции $$y=\sqrt{x}$$ с исключёнными точками, где не определены $$\tg x$$ и $$\ctg x$$.
в) $$y=\frac{1}{3}x+3-2\tg x\cdot \ctg x=\frac{1}{3}x+1.$$
Область определения:
$$x\ne \frac{\pi}{2}+\pi n,\qquad x\ne \pi n,\qquad n\in \mathbb{Z}.$$
График — прямая $$y=\frac{1}{3}x+1$$ с выколотыми точками в запрещённых значениях $$x$$.
г) $$y=\frac{\sqrt{x+4}}{\tg x\cdot \ctg x}=\sqrt{x+4}.$$
Область определения:
$$x\ge -4,\qquad x\ne \frac{\pi}{2}+\pi n,\qquad x\ne \pi n,\qquad n\in \mathbb{Z}.$$
График — график функции $$y=\sqrt{x+4}$$ с выколотыми точками в запрещённых значениях $$x$$.