Упр.1.17 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
- Для последовательности $$y_n=-2n^2+19n-42$$ найдите все значения $$n$$, при которых:
а) $$y_n=0$$;
г) $$y_n>y_{n+1}$$;
б) $$y_n>0$$;
д) $$y_3 - Решите уравнение и найдите его корни на указанном отрезке:
а) $$2\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=-1$$, $$x\in\left[-2\pi;\frac{\pi}{2}\right]$$;
б) $$\sqrt{2}\sin^2\left(\frac{7\pi}{2}+x\right)=\cos x$$, $$x\in\left[-\frac{3\pi}{2};\pi\right]$$;
в) $$2\sin\left(\frac{\pi}{2}+x\right)=\sqrt{3}$$, $$x\in\left[-\frac{3\pi}{2};\frac{5\pi}{2}\right]$$;
г) $$2\sin\left(\frac{5\pi}{2}-x\right)=\operatorname{ctg}x$$, $$x\in\left[-\frac{\pi}{2};2\pi\right]$$.
Рассмотрим последовательность $$y_n=-2n^2+19n-42.$$
а) $$y_n=0$$
$$-2n^2+19n-42=0$$
$$2n^2-19n+42=0$$
$$D=19^2-4\cdot 2\cdot 42=361-336=25$$
$$n=\frac{19\pm 5}{4}$$
$$n_1=\frac{7}{2},\quad n_2=6$$Так как $$n$$ — номер члена последовательности, подходит только $$n=6.$$
б) $$y_n>0$$
$$-2n^2+19n-42>0$$
$$2n^2-19n+42<0$$
$$\left(n-\frac{7}{2}\right)(n-6)<0$$Отсюда $$\frac{7}{2}<n<6.$$
При натуральных $$n$$: $$n=4,\ 5.$$
в) $$y_n<y_{n+1}$$
$$-2n^2+19n-42<-2(n+1)^2+19(n+1)-42$$
$$-2n^2+19n-42<-2n^2+15n-25$$
$$4n<17$$
$$n<\frac{17}{4}$$При натуральных $$n$$: $$n=1,\ 2,\ 3,\ 4.$$
г) $$y_n>y_{n+1}$$
$$-2n^2+19n-42>-2(n+1)^2+19(n+1)-42$$
$$4n>17$$
$$n>\frac{17}{4}$$При натуральных $$n$$: $$n=5,\ 6,\ 7,\ldots$$
д) $$y_3<y_n$$
$$y_3=-2\cdot 3^2+19\cdot 3-42=-57+57=0$$
Тогда нужно решить неравенство
$$0<-2n^2+19n-42$$
Это уже решено в пункте б): $$\frac{7}{2}<n<6.$$
При натуральных $$n$$: $$n=4,\ 5.$$
е) $$y_n$$ принимает наибольшее значение
Это квадратичная функция с ветвями вниз, значит максимум достигается в вершине:
$$n=\frac{-b}{2a}=\frac{-19}{2\cdot(-2)}=\frac{19}{4}=4{,}75$$
Следовательно, наибольшее значение последовательность принимает при $$n=5.$$
а) $$2\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=-1,\quad x\in\left[-2\pi;\frac{\pi}{2}\right]$$
$$\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\sin x,$$
поэтому
$$2\sin x=-1,$$
$$\sin x=-\frac12.$$$$x=-\frac{\pi}{6}+2\pi n \quad \text{или} \quad x=\frac{7\pi}{6}+2\pi n.$$
На отрезке $$\left[-2\pi;\frac{\pi}{2}\right]$$ получаем:
$$x=-\frac{5\pi}{6},\ -\frac{\pi}{6}.$$
б) $$\sqrt2\sin^2\left(\frac{7\pi}{2}+x\right)=\cos x,\quad x\in\left[-\frac{3\pi}{2};\pi\right]$$
$$\sin\left(\frac{7\pi}{2}+x\right)=\sin\left(\frac{3\pi}{2}+x\right)=-\cos x,$$
значит
$$\sqrt2\cos^2 x=\cos x.$$$$\cos x(\sqrt2\cos x-1)=0.$$
Отсюда
$$\cos x=0 \quad \text{или} \quad \cos x=\frac{\sqrt2}{2}.$$На заданном отрезке:
$$x=-\frac{3\pi}{2},\ -\frac{\pi}{2},\ -\frac{\pi}{4},\ \frac{\pi}{4},\ \frac{\pi}{2}.$$
в) $$2\sin\left(\frac{\pi}{2}+x\right)=\sqrt3,\quad x\in\left[-\frac{3\pi}{2};\frac{5\pi}{2}\right]$$
$$\sin\left(\frac{\pi}{2}+x\right)=\cos x,$$
поэтому
$$2\cos x=\sqrt3,$$
$$\cos x=\frac{\sqrt3}{2}.$$$$x=\pm\frac{\pi}{6}+2\pi n.$$
На отрезке $$\left[-\frac{3\pi}{2};\frac{5\pi}{2}\right]$$ получаем:
$$x=-\frac{\pi}{6},\ \frac{\pi}{6},\ \frac{11\pi}{6},\ \frac{13\pi}{6}.$$
г) $$2\sin\left(\frac{5\pi}{2}-x\right)=\operatorname{ctg}x,\quad x\in\left[-\frac{\pi}{2};2\pi\right]$$
$$\sin\left(\frac{5\pi}{2}-x\right)=\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x,$$
значит
$$2\cos x=\operatorname{ctg}x=\frac{\cos x}{\sin x}.$$Умножим на $$\sin x$$, учитывая, что $$\sin x\neq 0$$:
$$2\sin x\cos x=\cos x$$
$$\cos x(2\sin x-1)=0.$$Тогда
$$\cos x=0 \quad \text{или} \quad \sin x=\frac12.$$
На заданном отрезке:
$$x=-\frac{\pi}{2},\ \frac{\pi}{6},\ \frac{\pi}{2},\ \frac{5\pi}{6},\ \frac{3\pi}{2}.$$
Ответ
1) а) $$6$$; б) $$4, 5$$; в) $$1, 2, 3, 4$$; г) $$5, 6, 7,\ldots$$; д) $$4, 5$$; е) $$5$$.
2) а) $$-\frac{5\pi}{6},\ -\frac{\pi}{6}$$; б) $$-\frac{3\pi}{2},\ -\frac{\pi}{2},\ -\frac{\pi}{4},\ \frac{\pi}{4},\ \frac{\pi}{2}$$; в) $$-\frac{\pi}{6},\ \frac{\pi}{6},\ \frac{11\pi}{6},\ \frac{13\pi}{6}$$; г) $$-\frac{\pi}{2},\ \frac{\pi}{6},\ \frac{\pi}{2},\ \frac{5\pi}{6},\ \frac{3\pi}{2}$$.
