Упр.1.16 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) Постройте график последовательности.
б) Докажите, что последовательность убывает.
в) Докажите, что последовательность ограничена снизу.
г) Найдите (n>?)lim(y_n). Найдите наименьшее натуральное значение n, начиная с которого все члены указанной последовательности лежат в интервале (—0,01; 0,01), и выскажите предположение о том, чему равен предел последовательности:
а) b_n=2/(vn+2); в) b_n=3/(vn+3);
б) b_n=(-1)^n 2/vn; г) b_n=(-1)^(n+1) 3/vn.

Рассмотрим последовательность $$y_n=\frac{1}{3^n}.$$

а) График последовательности. Это точки с координатами $$\left(n,\frac{1}{3^n}\right), \quad n=1,2,3,\dots$$

Первые члены последовательности:

$$y_1=\frac13,\quad y_2=\frac19,\quad y_3=\frac1{27},\quad y_4=\frac1{81},\dots$$

На координатной плоскости это точки, быстро приближающиеся к оси $$Ox$$ сверху.

б) Последовательность убывает. Сравним соседние члены:

$$y_{n+1}=\frac{1}{3^{n+1}}=\frac13\cdot \frac{1}{3^n}=\frac13\,y_n.$$

Так как $$\frac13<1,$$ то

$$y_{n+1}<y_n.$$

Следовательно, последовательность убывает.

в) Последовательность ограничена снизу. Для любого натурального $$n$$ имеем

$$3^n>0,$$

значит

$$y_n=\frac{1}{3^n}>0.$$

Следовательно, последовательность ограничена снизу числом $$0$$.

г) Предел последовательности. При $$n\to\infty$$ знаменатель $$3^n$$ неограниченно возрастает, поэтому

$$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{3^n}=0.$$

Найдём наименьшее натуральное $$n,$$ начиная с которого все члены последовательности лежат в интервале $$(-0{,}01;\,0{,}01).$$

Так как $$y_n>0,$$ достаточно потребовать

$$\frac{1}{3^n}<0{,}01.$$

Тогда

$$3^n>100.$$

Проверим степени тройки:

$$3^4=81<100,\qquad 3^5=243>100.$$

Значит, наименьшее такое значение:

$$n=5.$$

Для последовательностей:

$$b_n=\frac{2}{\sqrt n+2},\qquad b_n=\frac{(-1)^n2}{\sqrt n},\qquad b_n=\frac{3}{\sqrt n+3},\qquad b_n=\frac{(-1)^{n+1}3}{\sqrt n}$$

во всех случаях при $$n\to\infty$$ знаменатель стремится к бесконечности, поэтому

$$\lim_{n\to\infty} b_n=0.$$

Ответ

а) Точки $$\left(n,\frac{1}{3^n}\right)$$ при $$n=1,2,3,\dots$$; б) последовательность убывает; в) ограничена снизу числом $$0$$; г) $$\lim\limits_{n\to\infty} y_n=0,$$ начиная с $$n=5$$ все члены последовательности лежат в интервале $$(-0{,}01;\,0{,}01).$$ Для последовательностей $$b_n$$ во всех четырёх случаях предел равен $$0.$$