Упр.1.15 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
- Дана последовательность $$y_n=\frac{1}{n}$$.
а) Постройте график последовательности.
б) Докажите, что последовательность убывает.
в) Докажите, что последовательность ограничена снизу.
г) Найдите $$\lim(y_n)$$ при $$n> ?$$. - Найдите наименьшее натуральное значение $$n$$, начиная с которого все члены указанной последовательности лежат в интервале $$(-0{,}01; 0{,}01)$$, и выскажите предположение о том, чему равен предел последовательности:
а) $$a_n=(-1)^n\frac{1}{n^2+2}$$;
г) $$a_n=(-1)^{n+1}\frac{2}{(n+2)^2+2}$$;
б) $$a_n=\frac{5}{2^{n+1}}$$;
д) $$a_n=\frac{2}{5^n}$$;
в) $$a_n=(-1)^n\frac{4}{3^n}$$;
е) $$a_n=(-1)^{n+1}\frac{6}{10^n}$$.
Рассмотрим последовательность $$y_n=\frac{1}{n}.$$
а) График последовательности. Это точки $$\left(1;1\right),\left(2;\frac12\right),\left(3;\frac13\right),\left(4;\frac14\right),\dots$$ Они лежат на убывающей кривой $$y=\frac1x$$ при натуральных значениях $$x=n.$$
б) Последовательность убывает. Для любого натурального $$n$$ имеем $$n+1>n,$$ значит
$$\frac{1}{n+1}<\frac{1}{n},$$
то есть $$y_{n+1}<y_n.$$ Следовательно, последовательность убывает.
в) Последовательность ограничена снизу. Так как $$n>0,$$ то
$$\frac{1}{n}>0,$$
значит $$y_n>0$$ при всех натуральных $$n.$$ Следовательно, последовательность ограничена снизу числом $$0.$$
г) Предел последовательности.
$$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0.$$
Значит, $$\lim\limits_{n\to\infty} y_n=0.$$
Найдём наименьшее натуральное $$n,$$ начиная с которого все члены последовательности лежат в интервале $$(-0{,}01;0{,}01).$$ Так как $$y_n>0,$$ достаточно потребовать
$$\frac{1}{n}<0{,}01.$$
Тогда
$$n>100.$$
Наименьшее натуральное значение: $$n=101.$$
Для данных последовательностей:
- $$a_n=(-1)^n\frac{1}{n^2+2}$$
- $$a_n=\frac{5}{2^{n+1}}$$
- $$a_n=(-1)^n\frac{4}{3^n}$$
- $$a_n=(-1)^{n+1}\frac{2}{(n+2)^2+2}$$
- $$a_n=\frac{2}{5^n}$$
- $$a_n=(-1)^{n+1}\frac{6}{10^n}$$
Чтобы все члены лежали в интервале $$(-0{,}01;0{,}01),$$ достаточно, чтобы выполнялось $$|a_n|<0{,}01.$$ Тогда получаем:
- а) $$\frac{1}{n^2+2}<0{,}01 \Rightarrow n>7\sqrt2,$$ значит $$n=10;$$
- б) $$\frac{5}{2^{n+1}}<0{,}01 \Rightarrow n=8;$$
- в) $$\frac{4}{3^n}<0{,}01 \Rightarrow n=6;$$
- г) $$\frac{2}{(n+2)^2+2}<0{,}01 \Rightarrow n=13;$$
- д) $$\frac{2}{5^n}<0{,}01 \Rightarrow n=4;$$
- е) $$\frac{6}{10^n}<0{,}01 \Rightarrow n=3.$$
Во всех случаях предел последовательности равен $$0.$$
Ответ
$$y_n=\frac1n$$ убывает, ограничена снизу числом $$0,$$ $$\lim\limits_{n\to\infty}y_n=0,$$ наименьшее $$n=101.$$
Для последовательностей: а) $$10$$; б) $$8$$; в) $$6$$; г) $$13$$; д) $$4$$; е) $$3$$. Во всех случаях $$\lim\limits_{n\to\infty} a_n=0.$$
