Упр.1.14 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) 1/5^n

1. Найдём натуральные решения неравенств.

   а) $$\frac{1}{5^n} < 0{,}01$$

   $$\frac{1}{5^1}=0{,}2>0{,}01,\quad \frac{1}{5^2}=0{,}04>0{,}01,\quad \frac{1}{5^3}=0{,}008<0{,}01$$
   Значит, подходят все $$n \ge 3$$.

   Ответ: $$\{3;4;5;\ldots\}$$

2. б) $$\frac{1}{2^n} < 0{,}1$$

   $$\frac{1}{2^1}=0{,}5>0{,}1,\quad \frac{1}{2^2}=0{,}25>0{,}1,\quad \frac{1}{2^3}=0{,}125>0{,}1,\quad \frac{1}{2^4}=0{,}0625<0{,}1$$
   Значит, подходят все $$n \ge 4$$.

   Ответ: $$\{4;5;6;\ldots\}$$

3. в) $$\frac{1}{3^n} < 0{,}001$$

   $$\frac{1}{3^1}=\frac13>0{,}001,\quad \frac{1}{3^2}=\frac19>0{,}001,\quad \frac{1}{3^3}=\frac1{27}\approx 0{,}037>0{,}001,$$
   $$\frac{1}{3^4}=\frac1{81}\approx 0{,}012>0{,}001,\quad \frac{1}{3^5}=\frac1{243}\approx 0{,}004>0{,}001,\quad \frac{1}{3^6}=\frac1{729}\approx 0{,}00137>0{,}001,$$
   $$\frac{1}{3^7}=\frac1{2187}\approx 0{,}00046<0{,}001$$
   Значит, подходят все $$n \ge 7$$.

   Ответ: $$\{7;8;9;\ldots\}$$

4. г) $$\frac{1}{3^n} < 0{,}01$$

   $$\frac{1}{3^1}=\frac13>0{,}01,\quad \frac{1}{3^2}=\frac19\approx 0{,}111>0{,}01,\quad \frac{1}{3^3}=\frac1{27}\approx 0{,}037>0{,}01,$$
   $$\frac{1}{3^4}=\frac1{81}\approx 0{,}012>0{,}01,\quad \frac{1}{3^5}=\frac1{243}\approx 0{,}0041<0{,}01$$
   Значит, подходят все $$n \ge 5$$.

   Ответ: $$\{5;6;7;\ldots\}$$

5. д) $$\frac{1}{4^n} < 0{,}1$$

   $$\frac{1}{4^1}=0{,}25>0{,}1,\quad \frac{1}{4^2}=0{,}0625<0{,}1$$
   Значит, подходят все $$n \ge 2$$.

   Ответ: $$\{2;3;4;\ldots\}$$

6. е) $$\frac{1}{5^n} < 0{,}001$$

   $$\frac{1}{5^1}=0{,}2>0{,}001,\quad \frac{1}{5^2}=0{,}04>0{,}001,\quad \frac{1}{5^3}=0{,}008>0{,}001,\quad \frac{1}{5^4}=0{,}0016>0{,}001,$$
   $$\frac{1}{5^5}=0{,}00032<0{,}001$$
   Значит, подходят все $$n \ge 5$$.

   Ответ: $$\{5;6;7;\ldots\}$$

Ход решения

1. Найдём наименьшее натуральное значение $$n$$, начиная с которого все члены последовательности лежат в указанной окрестности точки $$0$$, и предположим предел.

   а) $$y_n=\frac{2}{n},\quad y_n\in(-0{,}2;0{,}2)$$

   $$\frac{2}{n}<0{,}2 \;\Rightarrow\; 2<0{,}2n \;\Rightarrow\; n>10$$
   Наименьшее натуральное $$n=11$$.

   Ответ: $$11;\quad \lim_{n\to\infty} y_n=0$$

2. б) $$y_n=\frac{1}{n+2},\quad y_n\in(-0{,}1;0{,}1)$$

   $$\frac{1}{n+2}<0{,}1 \;\Rightarrow\; 1<0{,}1(n+2) \;\Rightarrow\; 1<0{,}1n+0{,}2$$
   $$0{,}8<0{,}1n \;\Rightarrow\; n>8$$
   Наименьшее натуральное $$n=9$$.

   Ответ: $$9;\quad \lim_{n\to\infty} y_n=0$$

3. в) $$y_n=\frac{2}{n^2+1},\quad y_n\in(-0{,}5;0{,}5)$$

   $$\frac{2}{n^2+1}<0{,}5 \;\Rightarrow\; 2<0{,}5(n^2+1)$$
   $$2<0{,}5n^2+0{,}5 \;\Rightarrow\; 1{,}5<0{,}5n^2 \;\Rightarrow\; n^2>3$$
   Следовательно, $$n>\sqrt{3}$$, значит наименьшее натуральное $$n=2$$.

   Ответ: $$2;\quad \lim_{n\to\infty} y_n=0$$

4. г) $$y_n=\frac{3}{n},\quad y_n\in(-0{,}3;0{,}3)$$

   $$\frac{3}{n}<0{,}3 \;\Rightarrow\; 3<0{,}3n \;\Rightarrow\; n>10$$
   Наименьшее натуральное $$n=11$$.

   Ответ: $$11;\quad \lim_{n\to\infty} y_n=0$$

5. д) $$y_n=\frac{2}{n+2},\quad y_n\in(-0{,}5;0{,}5)$$

   $$\frac{2}{n+2}<0{,}5 \;\Rightarrow\; 2<0{,}5(n+2)$$
   $$2<0{,}5n+1 \;\Rightarrow\; 1<0{,}5n \;\Rightarrow\; n>2$$
   Наименьшее натуральное $$n=3$$.

   Ответ: $$3;\quad \lim_{n\to\infty} y_n=0$$

6. е) $$y_n=\frac{1}{n^2-1},\quad y_n\in(-0{,}1;0{,}1)$$

   $$\frac{1}{n^2-1}<0{,}1 \;\Rightarrow\; 1<0{,}1(n^2-1)$$
   $$1<0{,}1n^2-0{,}1 \;\Rightarrow\; 1{,}1<0{,}1n^2 \;\Rightarrow\; n^2>11$$
   Следовательно, $$n>\sqrt{11}$$, значит наименьшее натуральное $$n=4$$.

   Ответ: $$4;\quad \lim_{n\to\infty} y_n=0$$