Упр.1.13 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

1. Сколько членов последовательности $$\left(x_n\right)$$ удовлетворяют неравенству $$x_n<1$$, если:
   а) $$x_n=\frac{7n-6}{2n+11}$$;
   в) $$x_n=\frac{2n-1}{n+5}$$;
   б) $$x_n=n^2-17$$;
   г) $$x_n=n^3-200$$?
2. Дана последовательность $$y_n=\frac{1}{3^n}$$.
   а) Постройте график последовательности.
   б) Докажите, что последовательность убывает.
   в) Докажите, что последовательность ограничена снизу.
   г) Найдите $$\lim(y_n)$$ ($$n>?$$).

Найдём, при каких натуральных значениях $$n$$ выполняется неравенство $$x_n<1$$.

1. $$x_n=\frac{7n-6}{2n+11}$$

   $$\frac{7n-6}{2n+11}<1$$
   $$\frac{7n-6-(2n+11)}{2n+11}<0$$
   $$\frac{5n-17}{2n+11}<0$$

   Так как $$2n+11>0$$ при всех натуральных $$n$$, то

   $$5n-17<0,\quad n<\frac{17}{5}$$

   Подходят $$n=1,2,3$$. Значит, таких членов последовательности $$3$$.

2. $$x_n=n^2-17$$

   $$n^2-17<1$$
   $$n^2-18<0$$
   $$(n-3\sqrt2)(n+3\sqrt2)<0$$

   Отсюда $$-3\sqrt2<n<3\sqrt2$$. Для натуральных $$n$$ получаем $$n=1,2,3,4$$.

   Таких членов последовательности $$4$$.

3. $$x_n=\frac{2n-1}{n+5}$$

   $$\frac{2n-1}{n+5}<1$$
   $$\frac{2n-1-(n+5)}{n+5}<0$$
   $$\frac{n-6}{n+5}<0$$

   Так как $$n+5>0$$ при всех натуральных $$n$$, то

   $$n-6<0,\quad n<6$$

   Подходят $$n=1,2,3,4,5$$. Значит, таких членов последовательности $$5$$.

4. $$x_n=n^3-200$$

   $$n^3-200<1$$
   $$n^3-201<0$$

   Проверим ближайшие натуральные числа:

   $$5^3=125<201,\qquad 6^3=216>201$$

   Значит, подходят $$n=1,2,3,4,5$$, то есть таких членов последовательности $$5$$.

Для последовательности $$y_n=\frac{1}{3^n}$$:

1. Первые члены: $$y_1=\frac13,\; y_2=\frac19,\; y_3=\frac1{27},\; y_4=\frac1{81}$$. График последовательности состоит из точек $$\left(n,\frac1{3^n}\right)$$ и располагается выше оси $$Ox$$, быстро приближаясь к нулю.

2. Докажем, что последовательность убывает:

   $$y_{n+1}=\frac{1}{3^{n+1}}=\frac13\cdot\frac{1}{3^n}=\frac13\,y_n$$

   Так как $$\frac13<1$$ и $$y_n>0$$, то $$y_{n+1}<y_n$$. Следовательно, последовательность убывает.

3. Докажем, что последовательность ограничена снизу:

   $$3^n>0,\qquad \frac{1}{3^n}>0$$

   Значит, $$y_n>0$$ для всех $$n$$, то есть последовательность ограничена снизу числом $$0$$.

4. Найдём предел:

   $$\lim_{n\to\infty} y_n=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{3^n}=0$$

Ответ

а) $$3$$; б) $$4$$; в) $$5$$; г) $$5$$.

Для последовательности $$y_n=\frac{1}{3^n}$$: график — точки $$\left(n,\frac1{3^n}\right)$$, последовательность убывает, ограничена снизу числом $$0$$, $$\lim\limits_{n\to\infty} y_n=0$$.