Упр.1.12 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

1) Рассмотрим последовательность $$y_n=\frac{3n-2}{n+1}.$$ Преобразуем её:

$$y_n=\frac{3n+3-5}{n+1}=3-\frac{5}{n+1}.$$

Так как при $$n\ge 1$$ имеем $$\frac{5}{n+1}>0$$, то

$$y_n<3.$$

Кроме того, при увеличении $$n$$ дробь $$\frac{5}{n+1}$$ убывает, значит $$y_n$$ возрастает.

Также для всех $$n\ge 1$$:

$$y_n=3-\frac{5}{n+1}>0,$$

то есть последовательность ограничена снизу.

Верные утверждения: 1), 3), 4).

2) Дана последовательность $$y_n=\frac{1}{n}.$$

а) Её график — это точки $$\left(n,\frac{1}{n}\right)$$ при $$n=1,2,3,\dots$$: $$\left(1,1\right), \left(2,\frac12\right), \left(3,\frac13\right), \left(4,\frac14\right), \dots$$

б) Докажем, что последовательность убывает:

$$n+1>n \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{n+1}<\frac{1}{n},$$

значит $$y_{n+1}<y_n$$, то есть последовательность убывает.

в) Так как $$n\ge 1$$, то

$$\frac{1}{n}>0,$$

следовательно, последовательность ограничена снизу числом $$0$$.

г) Найдём предел:

$$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0.$$

Ответ

1) $$1, 3, 4$$; 2) а) точки $$\left(n,\frac{1}{n}\right)$$; б) убывает; в) ограничена снизу числом $$0$$; г) $$0$$.