Упр.1.12 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Задача

1) последовательность ограничена сверху;
2) последовательность является убывающей;
3) последовательность ограничена снизу;
4) последовательность является возрастающей. Дана последовательность y_n=1/n.
а) Постройте график последовательности.
б) Докажите, что последовательность убывает.
в) Докажите, что последовательность ограничена снизу.
г) Найдите (n>?)lim(y_n).

Подробный ответ

1) Рассмотрим последовательность $$y_n=\frac{3n-2}{n+1}.$$ Преобразуем её:

$$ y_n=\frac{3n+3-5}{n+1}=3-\frac{5}{n+1}. $$

Так как при $$n\ge 1$$ имеем $$\frac{5}{n+1}>0$$, то

$$ y_n<3. $$

Кроме того, при увеличении $$n$$ дробь $$\frac{5}{n+1}$$ убывает, значит $$y_n$$ возрастает.

Также для всех $$n\ge 1$$:

$$ y_n=3-\frac{5}{n+1}>0, $$

то есть последовательность ограничена снизу.

Верные утверждения: 1), 3), 4).

2) Дана последовательность $$y_n=\frac{1}{n}.$$

а) Её график — это точки $$\left(n,\frac{1}{n}\right)$$ при $$n=1,2,3,\dots$$: $$\left(1,1\right), \left(2,\frac12\right), \left(3,\frac13\right), \left(4,\frac14\right), \dots$$

б) Докажем, что последовательность убывает:

$$ n+1>n \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{n+1}<\frac{1}{n}, $$

значит $$y_{n+1}<y_n$$, то есть последовательность убывает.

в) Так как $$n\ge 1$$, то

$$ \frac{1}{n}>0, $$

следовательно, последовательность ограничена снизу числом $$0$$.

г) Найдём предел:

$$ \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0. $$