Упр.1.11 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Задача

1) последовательность ограничена сверху;
2) последовательность является убывающей;
3) последовательность ограничена снизу;
4) последовательность является возрастающей.
Найдите натуральные решения неравенства:
а) 1/5^n

Подробный ответ

Рассмотрим последовательность

$$y_n=\frac{2n+1}{n-1}=\frac{2n-2+3}{n-1}=2+\frac{3}{n-1}.$$

При $$n\ge 2$$ имеем $$\frac{3}{n-1}>0$$, значит

$$y_n>2.$$

Кроме того, при увеличении $$n$$ дробь $$\frac{3}{n-1}$$ убывает, следовательно, убывает и вся последовательность $$y_n$$.

Так как $$y_n=2+\frac{3}{n-1}$$ и $$\frac{3}{n-1}\le 3$$ при $$n\ge 2$$, то

$$y_n\le 5.$$

Значит, последовательность ограничена сверху и снизу, а также является убывающей.

Верные утверждения: 1), 2), 3).

Теперь найдём натуральные решения неравенств.

$$\frac{1}{5^n}<0{,}01.$$
Проверим степени:
$$\frac{1}{5^1}=0{,}2,\quad \frac{1}{5^2}=0{,}04,\quad \frac{1}{5^3}=0{,}008.$$
Подходит начиная с $$n=3$$, значит $$n\ge 3$$.
$$\frac{1}{2^n}<0{,}1.$$
$$\frac{1}{2^1}=0{,}5,\quad \frac{1}{2^2}=0{,}25,\quad \frac{1}{2^3}=0{,}125,\quad \frac{1}{2^4}=0{,}0625.$$
Подходит начиная с $$n=4$$, значит $$n\ge 4$$.
$$\frac{1}{3^n}<0{,}001.$$
$$\frac{1}{3^5}=\frac{1}{243}\approx 0{,}0041,\quad \frac{1}{3^6}=\frac{1}{729}\approx 0{,}00137,\quad \frac{1}{3^7}=\frac{1}{2187}\approx 0{,}00046.$$
Подходит начиная с $$n=7$$, значит $$n\ge 7$$.
$$\frac{1}{3^n}<0{,}01.$$
$$\frac{1}{3^4}=\frac{1}{81}\approx 0{,}0123,\quad \frac{1}{3^5}=\frac{1}{243}\approx 0{,}0041.$$
Подходит начиная с $$n=5$$, значит $$n\ge 5$$.
$$\frac{1}{4^n}<0{,}1.$$
$$\frac{1}{4^1}=0{,}25,\quad \frac{1}{4^2}=0{,}0625.$$
Подходит начиная с $$n=2$$, значит $$n\ge 2$$.
$$\frac{1}{5^n}<0{,}001.$$
$$\frac{1}{5^4}=\frac{1}{625}=0{,}0016,\quad \frac{1}{5^5}=\frac{1}{3125}=0{,}00032.$$
Подходит начиная с $$n=5$$, значит $$n\ge 5$$.