Упр.1.10 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) y_n=3/(n-1); г) y_n=-4/(n+1);
б) x_n=v(n-2); д) x_n=log_2(n+1);
в) a_n=4·2,2^n; е) a_n=n^2+4n-5? Дана последовательность y_n=(3n-2)/(n+1). Укажите верные утверждения и обоснуйте свой выбор:
1) последовательность ограничена сверху;
2) последовательность является убывающей;
3) последовательность ограничена снизу;
4) последовательность является возрастающей.

Рассмотрим последовательность

$$y_n=\frac{3n-2}{n+1}.$$

Преобразуем её:

$$ y_n=\frac{3n+3-5}{n+1}=3-\frac{5}{n+1}. $$

Так как при $$n\ge 1$$ имеем $$n+1>0$$, то

$$\frac{5}{n+1}>0,$$

значит

$$y_n<3.$$

Кроме того, при увеличении $$n$$ дробь $$\frac{5}{n+1}$$ убывает, поэтому $$y_n$$ возрастает.

Найдём нижнюю границу: при $$n\ge 1$$

$$y_n=3-\frac{5}{n+1}\ge 3-\frac{5}{2}=\frac12.$$

Следовательно, последовательность ограничена сверху и снизу, а также является возрастающей.

Верные утверждения: 1), 3), 4).

Ответ

1; 3; 4.