Упр.1.10 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

1. Является ли последовательность ограниченной снизу: а) $$y_n=\frac{3}{n-1}$$; б) $$x_n=v(n-2)$$; в) $$a_n=4\cdot 2{,}2^n$$; г) $$y_n=-\frac{4}{n+1}$$; д) $$x_n=\log_2(n+1)$$; е) $$a_n=n^2+4n-5$$?
2. Дана последовательность $$y_n=\frac{3n-2}{n+1}$$. Укажите верные утверждения и обоснуйте свой выбор: 1) последовательность ограничена сверху; 2) последовательность является убывающей; 3) последовательность ограничена снизу; 4) последовательность является возрастающей.

Рассмотрим последовательность

$$y_n=\frac{3n-2}{n+1}.$$

Преобразуем её:

$$y_n=\frac{3n+3-5}{n+1}=3-\frac{5}{n+1}.$$

Так как при $$n\ge 1$$ имеем $$n+1>0$$, то

$$\frac{5}{n+1}>0,$$

значит

$$y_n<3.$$

Кроме того, при увеличении $$n$$ дробь $$\frac{5}{n+1}$$ убывает, поэтому $$y_n$$ возрастает.

Найдём нижнюю границу: при $$n\ge 1$$

$$y_n=3-\frac{5}{n+1}\ge 3-\frac{5}{2}=\frac12.$$

Следовательно, последовательность ограничена сверху и снизу, а также является возрастающей.

Верные утверждения: 1), 3), 4).

Ответ

1; 3; 4.