Упр.8.14 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: 8.14 Докажите, что площадь выпуклого четырёхугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними.

Подробный ответ

Пусть диагонали выпуклого четырёхугольника $$ABCD$$ пересекаются в точке $$O$$, а угол между ними равен $$\alpha$$.

Тогда четырёхугольник разбивается на четыре треугольника: $$AOB$$, $$BOC$$, $$COD$$ и $$DOA$$.

Их площади равны:

$$ S_{AOB}=\frac12 AO\cdot BO\cdot \sin(180^\circ-\alpha)=\frac12 AO\cdot BO\cdot \sin\alpha, $$
$$ S_{BOC}=\frac12 BO\cdot OC\cdot \sin\alpha, $$
$$ S_{COD}=\frac12 CO\cdot OD\cdot \sin(180^\circ-\alpha)=\frac12 CO\cdot OD\cdot \sin\alpha, $$
$$ S_{DOA}=\frac12 DO\cdot AO\cdot \sin\alpha. $$

Сложим эти площади:

$$ S_{ABCD}=S_{AOB}+S_{BOC}+S_{COD}+S_{DOA} $$
$$ =\frac12 \sin\alpha\,(AO\cdot BO+BO\cdot OC+OC\cdot OD+OD\cdot AO) $$
$$ =\frac12 \sin\alpha\,[BO(AO+OC)+OD(OC+AO)] $$
$$ =\frac12 \sin\alpha\,(AO+OC)(BO+OD). $$

Но $$AO+OC=AC$$, а $$BO+OD=BD$$. Значит,

$$ S_{ABCD}=\frac12 AC\cdot BD\cdot \sin\alpha. $$

Что и требовалось доказать.