Упр.8.12 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Найдите длину катетов, площадь треугольника и радиус описанной окружности, если:
а) с = 12, a = 60 градусов;
б) с = 6, а = 45 градусов;
в) с = 4, а = 30 градусов;
г) с = 60, а = 60 градусов.

В прямоугольном треугольнике, если гипотенуза равна $$c$$, а острый угол равен $$\alpha$$, то катеты находятся по формулам:

$$a=c\sin\alpha,\qquad b=c\cos\alpha.$$

Площадь треугольника:

$$S=\frac12 ab.$$

Радиус описанной окружности прямоугольного треугольника:

$$R=\frac{c}{2}.$$

а) $$c=12,\ \alpha=60^\circ$$

$$ a=12\sin60^\circ=12\cdot\frac{\sqrt3}{2}=6\sqrt3,\\ b=12\cos60^\circ=12\cdot\frac12=6,\\ S=\frac12\cdot 6\sqrt3\cdot 6=18\sqrt3,\\ R=\frac{12}{2}=6. $$

б) $$c=6,\ \alpha=45^\circ$$

$$ a=6\sin45^\circ=6\cdot\frac{\sqrt2}{2}=3\sqrt2,\\ b=6\cos45^\circ=6\cdot\frac{\sqrt2}{2}=3\sqrt2,\\ S=\frac12\cdot 3\sqrt2\cdot 3\sqrt2=9,\\ R=\frac{6}{2}=3. $$

в) $$c=4,\ \alpha=30^\circ$$

$$ a=4\sin30^\circ=4\cdot\frac12=2,\\ b=4\cos30^\circ=4\cdot\frac{\sqrt3}{2}=2\sqrt3,\\ S=\frac12\cdot 2\cdot 2\sqrt3=2\sqrt3,\\ R=\frac{4}{2}=2. $$

г) $$c=60,\ \alpha=60^\circ$$

$$ a=60\sin60^\circ=60\cdot\frac{\sqrt3}{2}=30\sqrt3,\\ b=60\cos60^\circ=60\cdot\frac12=30,\\ S=\frac12\cdot 30\sqrt3\cdot 30=450\sqrt3,\\ R=\frac{60}{2}=30. $$

Ответ

а) $$a=6\sqrt3,\ b=6,\ S=18\sqrt3,\ R=6$$;
б) $$a=3\sqrt2,\ b=3\sqrt2,\ S=9,\ R=3$$;
в) $$a=2,\ b=2\sqrt3,\ S=2\sqrt3,\ R=2$$;
г) $$a=30\sqrt3,\ b=30,\ S=450\sqrt3,\ R=30$$.