Упр.7.11 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Задача

а) f(t) = 1 — (cos^2(t) — sin^2(t));
б) f(t) = 1 — sin t * cos t * tg t;
в) f(t) = sin t + 3sin^2(t) + 3cos^2(t);
г) f(t) = cos^2(t) * tg^2(t) + 5cos^2(t) — 1.

Подробный ответ

а) $$f(t)=1-(\cos^2 t-\sin^2 t)$$
$$f(t)=1-\cos^2 t+\sin^2 t=\sin^2 t+\sin^2 t=2\sin^2 t$$
Так как $$0\le \sin^2 t\le 1,$$ то
$$0\le 2\sin^2 t\le 2.$$
Значит, наименьшее значение равно $$0,$$ наибольшее — $$2.$$
б) $$f(t)=1-\sin t\cdot \cos t\cdot \tg t$$
$$f(t)=1-\sin t\cdot \cos t\cdot \frac{\sin t}{\cos t}=1-\sin^2 t=\cos^2 t.$$
Но функция определена только при $$\cos t\ne 0,$$ то есть точки, где $$\cos^2 t=0,$$ не входят в область определения.
Поэтому $$0<\cos^2 t\le 1.$$
Наибольшее значение равно $$1,$$ а наименьшего значения нет, так как $$0$$ не достигается.
в) $$f(t)=\sin t+3\sin^2 t+3\cos^2 t$$
$$f(t)=\sin t+3(\sin^2 t+\cos^2 t)=\sin t+3.$$
Так как $$-1\le \sin t\le 1,$$ то
$$2\le \sin t+3\le 4.$$
Следовательно, $$f_{\min}=2,$$ $$f_{\max}=4.$$
г) $$f(t)=\cos^2 t\cdot \tg^2 t+5\cos^2 t-1$$
$$f(t)=\cos^2 t\cdot \frac{\sin^2 t}{\cos^2 t}+5\cos^2 t-1=\sin^2 t+5\cos^2 t-1.$$
Так как $$\sin^2 t=1-\cos^2 t,$$ получаем
$$f(t)=1-\cos^2 t+5\cos^2 t-1=4\cos^2 t.$$
При $$\cos t\ne 0$$ имеем $$0<\cos^2 t\le 1,$$ значит
$$0<4\cos^2 t\le 4.$$
Наибольшее значение равно $$4,$$ наименьшего значения нет.