Упр.60.17 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
а) уравнение 5^2х — 3*5^x + a — 1 = 0 имеет единственный корень;
б) уравнение 0,01^x — 2(а + 1) * 0,1^x + 4 = 0 не имеет действительных корней?
а) Сделаем замену:
$$5^x=t,\quad t>0.$$
Тогда уравнение принимает вид
$$t^2-3t+(a-1)=0.$$
Чтобы исходное уравнение имело единственный корень, квадратное уравнение по $$t$$ должно либо иметь один положительный корень, либо два корня разных знаков.
1) Один корень: $$D=0$$.
$$D=3^2-4(a-1)=9-4a+4=13-4a.$$
$$13-4a=0,\quad a=\frac{13}{4}.$$
2) Корни разных знаков: произведение корней отрицательно.
$$t_1t_2=a-1<0,\quad a<1.$$
Итак, уравнение имеет единственный корень при
$$a<1 \quad \text{или} \quad a=\frac{13}{4}.$$
б) Сделаем замену:
$$0{,}1^x=t,\quad t>0.$$
Тогда
$$0{,}01^x-2(a+1)\cdot 0{,}1^x+4=0$$
превращается в
$$t^2-2(a+1)t+4=0.$$
Чтобы действительных корней не было, достаточно, чтобы квадратное уравнение по $$t$$ не имело положительных корней. Это возможно, если
$$D<0$$
или если оба корня неположительны.
Найдём дискриминант:
$$D=[-2(a+1)]^2-4\cdot 1\cdot 4=4(a+1)^2-16=4(a^2+2a-3)=4(a+3)(a-1).$$
Если $$D<0$$, то
$$4(a+3)(a-1)<0,\quad -3<a<1.$$
При $$a\le -1$$ сумма корней
$$t_1+t_2=2(a+1)\le 0,$$
а произведение корней равно $$4>0$$, значит оба корня неположительны. Тогда действительных корней у исходного уравнения нет.
Объединяя условия, получаем:
$$a<1.$$
Ответ
а) $$a<1$$ или $$a=\frac{13}{4}$$; б) $$a<1$$.
