Упр.60.15 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Задача

а) уравнение (log3 a) x^2 — (2 lоg3 a — 1) х + log3 a — 2 = 0 имеет единственный корень;
б) уравнение (log4 a) x^2 + (2 lоg4 a + 1) х + log4 a + 2 = 0 не имеет корней?

Подробный ответ

а) Обозначим $$t=\log_3 a.$$ Тогда уравнение принимает вид
$$tx^2-(2t-1)x+t-2=0.$$
Чтобы квадратное уравнение имело единственный корень, нужно, чтобы либо $$D=0,$$ либо уравнение стало линейным при $$t=0.$$
Найдём дискриминант:
$$D=(2t-1)^2-4t(t-2)=4t^2-4t+1-4t^2+8t=1+4t.$$
1) $$D=0$$:
$$1+4t=0,$$
$$t=-\frac14,$$
$$\log_3 a=-\frac14,$$
$$a=3^{-1/4}=\frac1{\sqrt[4]{3}}.$$
2) $$t=0$$:
$$\log_3 a=0,$$
$$a=1.$$
Значит, в пункте а) получаем:
$$a=\frac1{\sqrt[4]{3}} \text{ или } a=1.$$
б) Обозначим $$t=\log_4 a.$$ Тогда уравнение имеет вид
$$tx^2+(2t+1)x+t+2=0.$$
Чтобы уравнение не имело корней, нужно, чтобы $$D<0.$$
Найдём дискриминант:
$$D=(2t+1)^2-4t(t+2)=4t^2+4t+1-4t^2-8t=1-4t.$$
Тогда
$$1-4t<0,$$
$$t>\frac14,$$
$$\log_4 a>\frac14.$$
Так как основание логарифма больше 1, получаем
$$a>4^{1/4}=\sqrt2.$$