Упр.6.46 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

a) корень(sin^2(1) + sin^2(2) — 2sin(1)sin(2)) +
корень(1/4 — sin(1) + sin^2(1)) +
корень(1 + sin^2(2) — 2sin(2);

а) Преобразуем выражение, используя формулу $$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$$:

$$ \sqrt{\sin^2 1+\sin^2 2-2\sin 1\sin 2} +\sqrt{\frac14-\sin 1+\sin^2 1} +\sqrt{1+\sin^2 2-2\sin 2} $$
$$ =\sqrt{(\sin 1-\sin 2)^2} +\sqrt{\left(\frac12-\sin 1\right)^2} +\sqrt{(1-\sin 2)^2} $$
$$ =|\sin 1-\sin 2|+\left|\frac12-\sin 1\right|+|1-\sin 2|. $$

Так как $$1$$ лежит в I четверти, а $$2$$ — во II четверти, то $$\sin 1>\frac12$$, $$\sin 2>\sin 1$$ и $$\sin 2<1$$. Тогда

$$ |\sin 1-\sin 2|=\sin 2-\sin 1,\qquad \left|\frac12-\sin 1\right|=\sin 1-\frac12,\qquad |1-\sin 2|=1-\sin 2. $$

Следовательно,

$$ \sin 2-\sin 1+\sin 1-\frac12+1-\sin 2=\frac12. $$

б) Аналогично:

$$ \sqrt{\cos^2 6+\cos^2 7-2\cos 6\cos 7} +\sqrt{\frac14-\cos 7+\cos^2 7} +\sqrt{1+\cos^2 6-2\cos 6} $$
$$ =\sqrt{(\cos 6-\cos 7)^2} +\sqrt{\left(\frac12-\cos 7\right)^2} +\sqrt{(1-\cos 6)^2} $$
$$ =|\cos 6-\cos 7|+\left|\frac12-\cos 7\right|+|1-\cos 6|. $$

Число $$7$$ лежит в I четверти, а $$6$$ — в IV четверти, поэтому $$\cos 7>\frac12$$, $$\cos 6>0$$ и $$\cos 7>\cos 6$$. Тогда

$$ |\cos 6-\cos 7|=\cos 7-\cos 6,\qquad \left|\frac12-\cos 7\right|=\cos 7-\frac12,\qquad |1-\cos 6|=1-\cos 6. $$

Получаем:

$$ \cos 7-\cos 6+\cos 7-\frac12+1-\cos 6=\frac12. $$

Ответ

а) $$\frac12$$; б) $$\frac12$$.