Упр.6.40 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) sin(пи/7), sin(пи/5), sin(2пи/3), sin(7пи/6), sin(4пи/3);
б) cos(пи/8), cos(пи/3), cos(5пи/6), cos(5пи/4), cos(7пи/4);

а) Сравним значения синусов по четвертям и по величине угла.

$$0<\frac{\pi}{7}<\frac{\pi}{5}<\frac{\pi}{2}, \qquad \frac{\pi}{2}<\frac{2\pi}{3}<\pi, \qquad \pi<\frac{7\pi}{6}<\frac{4\pi}{3}<\frac{3\pi}{2}.$$

В первой четверти синус возрастает, значит

$$\sin\frac{\pi}{7}<\sin\frac{\pi}{5}<\sin\frac{2\pi}{3}.$$

Во III четверти синус отрицателен и убывает, поэтому

$$\sin\frac{4\pi}{3}<\sin\frac{7\pi}{6}<0.$$

Следовательно, весь набор чисел в порядке возрастания:

$$\sin\frac{4\pi}{3}<\sin\frac{7\pi}{6}<\sin\frac{\pi}{7}<\sin\frac{\pi}{5}<\sin\frac{2\pi}{3}.$$

б) Аналогично рассмотрим косинусы.

$$0<\frac{\pi}{8}<\frac{\pi}{3}<\frac{\pi}{2}, \qquad \frac{\pi}{2}<\frac{5\pi}{6}<\frac{5\pi}{4}<\frac{7\pi}{4}<2\pi.$$

В I четверти косинус убывает, значит

$$\cos\frac{\pi}{8}>\cos\frac{\pi}{3}.$$

Во II и III четвертях косинус отрицателен, причём

$$\cos\frac{5\pi}{6}=-\frac{\sqrt{3}}{2}, \qquad \cos\frac{5\pi}{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2},$$

поэтому

$$\cos\frac{5\pi}{6}<\cos\frac{5\pi}{4}<0.$$

В IV четверти косинус положителен, и

$$\cos\frac{7\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}.$$

Сравнивая положительные значения, получаем

$$\cos\frac{\pi}{3}<\cos\frac{7\pi}{4}<\cos\frac{\pi}{8}.$$

Итак, в порядке возрастания:

$$\cos\frac{5\pi}{6}<\cos\frac{5\pi}{4}<\cos\frac{\pi}{3}<\cos\frac{7\pi}{4}<\cos\frac{\pi}{8}.$$

Ответ

а) $$\sin\frac{4\pi}{3},\ \sin\frac{7\pi}{6},\ \sin\frac{\pi}{7},\ \sin\frac{\pi}{5},\ \sin\frac{2\pi}{3}.$$

б) $$\cos\frac{5\pi}{6},\ \cos\frac{5\pi}{4},\ \cos\frac{\pi}{3},\ \cos\frac{7\pi}{4},\ \cos\frac{\pi}{8}.$$