Упр.59.7 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) система
3(3)корень(x + y) = log2 16x^2,
log2 x^2 + 2(3)корень(х + у) = 6;

а) Введём новые переменные:

$$u=\sqrt[3]{x+y}, \qquad t=\log_2 x^2.$$

Тогда система принимает вид

$$ \begin{cases} 3u=\log_2 16x^2,\\ t+2u=6. \end{cases} $$

Преобразуем первое уравнение:

$$\log_2 16x^2=\log_2 16+\log_2 x^2=4+t.$$

Получаем систему

$$ \begin{cases} 3u=4+t,\\ t+2u=6. \end{cases} $$

Из первого уравнения $$t=3u-4$$. Подставим во второе:

$$ (3u-4)+2u=6, $$

$$ 5u=10,\qquad u=2. $$

Тогда

$$ t=3\cdot 2-4=2. $$

Возвращаемся к исходным переменным:

$$ \log_2 x^2=2 \Rightarrow x^2=4 \Rightarrow x=\pm 2, $$

$$ \sqrt[3]{x+y}=2 \Rightarrow x+y=8. $$

Если $$x=-2$$, то $$y=10$$. Если $$x=2$$, то $$y=6$$.

Ответ: $$(-2;10),\ (2;6).$$

б) Введём новые переменные:

$$u=3^{x-y}, \qquad t=|2y-x|.$$

Тогда система равносильна

$$ \begin{cases} u-7t=2,\\ t-\dfrac{u}{3}=-2. \end{cases} $$

Умножим второе уравнение на $$3$$:

$$ \begin{cases} u-7t=2,\\ 3t-u=-6. \end{cases} $$

Сложим уравнения:

$$ -4t=-4,\qquad t=1. $$

Тогда

$$ u=2+7\cdot 1=9. $$

Возвращаемся к исходным переменным:

$$ 3^{x-y}=9=3^2 \Rightarrow x-y=2, $$

$$ |2y-x|=1. $$

Из $$x-y=2$$ получаем $$y=x-2$$. Подставим в модуль:

$$ |2(x-2)-x|=1, $$

$$ |x-4|=1. $$

Отсюда:

$$ x-4=1 \Rightarrow x=5,\qquad y=3; $$

$$ x-4=-1 \Rightarrow x=3,\qquad y=1. $$

Ответ: $$ (5;3),\ (3;1). $$