Упр.59.6 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) система
2x + Зу = 12,
log6^2 ху + 1 = 2 log6 ху;

а) Область допустимых значений: $$xy>0.$$

Пусть $$t=\log_6(xy).$$ Тогда из второго уравнения получаем:

$$t^2+1=2t$$

$$t^2-2t+1=0$$

$$\left(t-1\right)^2=0$$

$$t=1.$$

Возвращаемся к исходной переменной:

$$\log_6(xy)=1$$

$$xy=6.$$

Тогда система принимает вид:

$$ \begin{cases} 2x+3y=12,\\ xy=6. \end{cases} $$

Подставим $$y=\dfrac{6}{x}$$ в первое уравнение:

$$2x+3\cdot \frac{6}{x}=12$$

$$2x+\frac{18}{x}=12$$

$$2x^2-12x+18=0$$

$$x^2-6x+9=0$$

$$\left(x-3\right)^2=0$$

$$x=3,$$

$$y=\frac{6}{3}=2.$$

б) Область допустимых значений: $$x\ge 0,\ y\ge 0.$$

Пусть $$t=\sqrt[4]{xy}.$$ Тогда $$t\ge 0$$ и первое уравнение можно записать так:

$$t^2=10-3t$$

$$t^2+3t-10=0$$

$$\left(t+5\right)\left(t-2\right)=0.$$

Так как $$t\ge 0,$$ то $$t=2.$$

Возвращаемся к исходной переменной:

$$\sqrt[4]{xy}=2$$

$$xy=16.$$

Тогда система имеет вид:

$$ \begin{cases} xy=16,\\ 2x-5y=6. \end{cases} $$

Подставим $$y=\dfrac{16}{x}$$ во второе уравнение:

$$2x-5\cdot \frac{16}{x}=6$$

$$2x-\frac{80}{x}=6$$

$$2x^2-6x-80=0$$

$$x^2-3x-40=0$$

$$\left(x-8\right)\left(x+5\right)=0.$$

С учётом ОДЗ подходит только $$x=8,$$ тогда

$$y=\frac{16}{8}=2.$$

Ответ

а) $$\left(3;\,2\right)$$; б) $$\left(8;\,2\right)$$.