Упр.59.26 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Если второе число увеличить на 6, то получится конечная арифметическая прогрессия.
Если после этого третье число увеличить на 48, то снова получится геометрическая прогрессия. Найдите три исходных числа.

Обозначим исходные числа через $$a,\ b,\ c.$$ Тогда по условию:

$$ \begin{cases} b^2=ac,\\ a+c=2(b+6),\\ (b+6)^2=a(c+48). \end{cases} $$

Из второго уравнения:

$$ a+c=2b+12. $$

Из третьего уравнения:

$$ (b+6)^2=a(c+48). $$

Подставим $$c=2b+12-a$$ в первое и третье уравнения. Удобнее сначала выразить сумму и разность:

$$ a+c=2b+12, $$
$$ (b+6)^2=a(c+48). $$

Раскроем третье уравнение:

$$ b^2+12b+36=ac+48a. $$

Так как $$ac=b^2,$$ получаем:

$$ b^2+12b+36=b^2+48a, $$
$$ 12b+36=48a, $$
$$ b+3=4a, $$
$$ b=4a-3. $$

Теперь из $$a+c=2(b+6)$$ найдём $$c$$:

$$ a+c=2(4a-3+6)=8a+6, $$
$$ c=7a+6. $$

Подставим в условие геометрической прогрессии $$b^2=ac$$:

$$ (4a-3)^2=a(7a+6). $$

$$ 16a^2-24a+9=7a^2+6a, $$
$$ 9a^2-30a+9=0, $$
$$ 3a^2-10a+3=0. $$

Решаем квадратное уравнение:

$$ D=100-36=64, $$
$$ a=\frac{10\pm 8}{6}. $$

Отсюда:

$$ a_1=\frac13,\qquad a_2=3. $$

Найдём соответствующие значения $$b$$ и $$c$$:

$$ a=\frac13 \Rightarrow b=4\cdot \frac13-3=-\frac53,\qquad c=7\cdot \frac13+6=\frac{25}{3}; $$

$$ a=3 \Rightarrow b=4\cdot 3-3=9,\qquad c=7\cdot 3+6=27. $$

Проверка показывает, что обе тройки удовлетворяют условию.

Ответ

$$ \frac13,\ -\frac53,\ \frac{25}{3} $$
или
$$ 3,\ 9,\ 27. $$