Упр.59.25 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Если к задуманному числу прибавить 198, то получится число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке.
Найдите задуманное число.

Пусть цифры задуманного числа — $$a,\; b,\; c$$, тогда само число равно $$100a+10b+c$$.

По условию получаем систему:

$$ \begin{cases} a+b+c=8,\\ a^2+b^2+c^2=26,\\ 100a+10b+c+198=100c+10b+a. \end{cases} $$

Из третьего уравнения:

$$ 100a+10b+c+198=100c+10b+a $$
$$ 99a-99c+198=0 $$
$$ 99(a-c)=-198 $$
$$ a-c=-2 $$
$$ a=c-2. $$

Подставим в первое уравнение:

$$ (c-2)+b+c=8 $$
$$ b=10-2c. $$

Теперь подставим в уравнение с квадратами:

$$ (c-2)^2+(10-2c)^2+c^2=26 $$
$$ c^2-4c+4+100-40c+4c^2+c^2=26 $$
$$ 6c^2-44c+78=0 $$
$$ 3c^2-22c+39=0 $$
$$ (3c-13)(c-3)=0. $$

Так как $$c$$ — цифра, то $$c=\frac{13}{3}$$ не подходит, значит $$c=3$$.

Тогда

$$ a=c-2=1,\qquad b=10-2c=4. $$

Искомое число:

$$ 100a+10b+c=100\cdot 1+10\cdot 4+3=143. $$

Ответ

143