Упр.59.20 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) система
log13 (x^2 + у^2) = 0,5 logпи пи^2,
log3 x — 1 = log3 2 — log3 y;
б) система
log7 (x + у) = 4 log7 (x — у),
log7 (x + у) = 5 log7 3 — log7 (x — у).

а) Рассмотрим систему:

$$ \begin{cases} \log_{13}(x^2+y^2)=0{,}5\log_{\pi}\pi^2,\\ \log_3 x-1=\log_3 2-\log_3 y. \end{cases} $$

Область допустимых значений:

$$ x>0,\quad y>0. $$

Из второго уравнения:

$$ \log_3 x-1=\log_3 2-\log_3 y $$
$$ \log_3 x-\log_3 3=\log_3 2-\log_3 y $$
$$ \log_3\frac{x}{3}=\log_3\frac{2}{y} $$
$$ \frac{x}{3}=\frac{2}{y} $$
$$ xy=6. $$

Из первого уравнения:

$$ 0{,}5\log_{\pi}\pi^2=0{,}5\cdot 2=1, $$
значит

$$ \log_{13}(x^2+y^2)=1, $$
$$ x^2+y^2=13. $$

Получаем систему:

$$ \begin{cases} x^2+y^2=13,\\ xy=6. \end{cases} $$

Тогда

$$ (x+y)^2=x^2+2xy+y^2=13+12=25, $$
$$ (x-y)^2=x^2-2xy+y^2=13-12=1. $$

Так как $x>0$ и $y>0$, то возможны пары:

$$ x+y=5,\quad x-y=1 $$
или
$$ x+y=5,\quad x-y=-1. $$

Отсюда:

$$ x=3,\ y=2 $$
или
$$ x=2,\ y=3. $$

б) Рассмотрим систему:

$$ \begin{cases} \log_7(x+y)=4\log_7(x-y),\\ \log_7(x+y)=5\log_7 3-\log_7(x-y). \end{cases} $$

Область допустимых значений:

$$ x+y>0,\quad x-y>0. $$

Из первого уравнения:

$$ \log_7(x+y)=\log_7(x-y)^4, $$
$$ x+y=(x-y)^4. $$

Из второго уравнения:

$$ \log_7(x+y)=\log_7 3^5-\log_7(x-y)=\log_7\frac{243}{x-y}, $$
$$ x+y=\frac{243}{x-y}. $$

Обозначим:

$$ a=x+y,\quad b=x-y. $$

Тогда

$$ a=b^4,\quad a=\frac{243}{b}. $$

Следовательно,

$$ b^4=\frac{243}{b}, $$
$$ b^5=243, $$
$$ b=3. $$

Тогда

$$ a=3^4=81. $$

Возвращаемся к переменным $x$ и $y$:

$$ \begin{cases} x+y=81,\\ x-y=3. \end{cases} $$

$$ 2x=84,\quad x=42, $$
$$ 2y=78,\quad y=39. $$

Ответ

а) $$(2;3),\ (3;2)$$
б) $$(42;39)$$