Упр.59.17 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Задача

а) система
(3)корень(x) + (3)корень(x) = 5,
xу = 216;

Подробный ответ

а) Обозначим $$u=\sqrt[3]{x}, \quad v=\sqrt[3]{y}.$$ Тогда система примет вид

$$ \begin{cases} u+v=5,\\ u^3v^3=216. \end{cases} $$

Так как $$u^3v^3=(uv)^3,$$ то

$$uv=6.$$

Получаем систему

$$ \begin{cases} u+v=5,\\ uv=6. \end{cases} $$

Числа $$u$$ и $$v$$ — корни уравнения

$$t^2-5t+6=0,$$

откуда

$$ (t-2)(t-3)=0,\quad t=2 \text{ или } t=3. $$

Значит, $$\{u,v\}=\{2,3\}.$$ Тогда

$$ x=u^3,\quad y=v^3. $$

Получаем пары:

$$ x=2^3=8,\quad y=3^3=27; $$

$$ x=3^3=27,\quad y=2^3=8. $$

б) Обозначим $$u=\sqrt[4]{x}, \quad v=\sqrt[4]{y}.$$ Тогда

$$ \begin{cases} u-v=1,\\ \sqrt{xy}=4. \end{cases} $$

Так как $$x=u^4,\ y=v^4,$$ то

$$\sqrt{xy}=\sqrt{u^4v^4}=u^2v^2=(uv)^2=4.$$

Следовательно,

$$uv=\pm 2.$$

Рассмотрим оба случая.

1) $$uv=2.$$ Тогда

$$ \begin{cases} u-v=1,\\ uv=2. \end{cases} $$

Подходит пара $$u=2,\ v=1.$$ Тогда

$$x=2^4=16,\quad y=1^4=1.$$

2) $$uv=-2.$$ Тогда из $$u-v=1$$ получаем пару $$u=-1,\ v=-2,$$ но

$$x=(-1)^4=1,\quad y=(-2)^4=16,$$

и это не подходит, так как $$\sqrt{xy}=4$$ выполняется, но при возведении в четвёртую степень получаем перестановку переменных; проверка исходной системы даёт решение $$x=16,\ y=1.$$

Итак, для пункта б) получаем единственную подходящую пару.