Упр.59.16 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Задача

а) система
корень(x — у) + корень(x + 3у) = 4,
2x — y = 4;
б) система
6x + 2y = 10,
корень(2x + у) + корень(6x — 3у) = 2.

Подробный ответ

Решим систему
$$ \begin{cases} \sqrt{x-y}+\sqrt{x+3y}=4,\\ 2x-y=4. \end{cases} $$
Из второго уравнения:
$$y=2x-4.$$
Подставим в первое уравнение:
$$ \sqrt{x-(2x-4)}+\sqrt{x+3(2x-4)}=4, $$
$$ \sqrt{4-x}+\sqrt{7x-12}=4. $$
Перенесём один корень и возведём в квадрат:
$$ \sqrt{7x-12}=4-\sqrt{4-x}, $$
$$ 7x-12=16-8\sqrt{4-x}+4-x, $$
$$ 8\sqrt{4-x}=32-8x, $$
$$ \sqrt{4-x}=4-x. $$
Тогда
$$ 4-x=(4-x)^2, $$
$$ (4-x)(3-x)=0. $$
Отсюда
$$x=3 \text{ или } x=4.$$
Найдём $y$:
$$ y=2x-4. $$
При $x=3$ получаем $y=2$, при $x=4$ получаем $y=4$.
Проверка показывает, что обе пары подходят.
Решим систему
$$ \begin{cases} 6x+2y=10,\\ \sqrt{2x+y}+\sqrt{6x-3y}=2. \end{cases} $$
Из первого уравнения:
$$y=5-3x.$$
Подставим во второе уравнение:
$$ \sqrt{2x+5-3x}+\sqrt{6x-3(5-3x)}=2, $$
$$ \sqrt{5-x}+\sqrt{15x-15}=2. $$
Перенесём один корень и возведём в квадрат:
$$ \sqrt{15x-15}=2-\sqrt{5-x}, $$
$$ 15x-15=4-4\sqrt{5-x}+5-x, $$
$$ 4\sqrt{5-x}=24-16x, $$
$$ \sqrt{5-x}=6-4x. $$
Тогда
$$ 5-x=(6-4x)^2, $$
$$ 16x^2-47x+31=0, $$
$$ (16x-31)(x-1)=0. $$
Получаем $x=\frac{31}{16}$ или $x=1$.
Значение $x=\frac{31}{16}$ не подходит по области допустимых значений, поэтому
$$x=1.$$
Тогда
$$y=5-3\cdot 1=2.$$