Упр.58.16 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) система
х + у > = 3,
2х — Зу < = 1; б) система x - у > = 1,
x + у < = 1, x < = 2у; в) система х - 2у > = 3,
х + Зу < = -2; г) система х - у > = 2х,
х + у < Зу, 5х < = 2у - 7.

1. а)

   $$\begin{cases} x+y\ge 3,\\ 2x-3y\le 1 \end{cases}$$
   Преобразуем неравенства к виду $$y=\dots$$:
   $$\begin{cases} y\ge 3-x,\\ y\ge \dfrac{2x-1}{3} \end{cases}$$
   Множество решений — общая часть двух полуплоскостей, лежащая выше обеих прямых.

2. б)

   $$\begin{cases} x-y\ge 1,\\ x+y\le 1,\\ x\le 2y \end{cases}$$
   Тогда
   $$\begin{cases} y\le x-1,\\ y\le 1-x,\\ y\ge \dfrac{x}{2} \end{cases}$$
   Совместной области нет, так как получающиеся полуплоскости не имеют общей части.

3. в)

   $$\begin{cases} x-2y\ge 3,\\ x+3y\le -2 \end{cases}$$
   Преобразуем:
   $$\begin{cases} y\le \dfrac{x-3}{2},\\ y\le \dfrac{-x-2}{3} \end{cases}$$
   Общая часть — область, лежащая ниже обеих прямых.

4. г)

   $$\begin{cases} x-y\ge 2x,\\ x+y\le 3y,\\ 5x\le 2y-7 \end{cases}$$
   Получаем:
   $$\begin{cases} y\le -x,\\ y\ge \dfrac{x}{2},\\ y\ge \dfrac{5x+7}{2} \end{cases}$$
   Общая часть этих трёх полуплоскостей и есть искомое множество точек.

Ответ

а) $$\{(x,y)\mid y\ge 3-x,\; y\ge \dfrac{2x-1}{3}\}$$;
б) решений нет;
в) $$\{(x,y)\mid y\le \dfrac{x-3}{2},\; y\le \dfrac{-x-2}{3}\}$$;
г) $$\{(x,y)\mid y\le -x,\; y\ge \dfrac{x}{2},\; y\ge \dfrac{5x+7}{2}\}$$.