Упр.58.13 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) x^2 — 5ху + 6у^2 = 2;
б) x^2 + 2ху — 8у^2 = 7.

а) Преобразуем левую часть:

$$x^2-5xy+6y^2=2$$

$$x^2-3xy-2xy+6y^2=2$$

$$x(x-3y)-2y(x-3y)=2$$

$$ (x-2y)(x-3y)=2 $$

Так как произведение равно $$2$$, рассмотрим пары целых множителей:

$$x-2y=1,\quad x-3y=2$$

$$x-2y=2,\quad x-3y=1$$

$$x-2y=-1,\quad x-3y=-2$$

$$x-2y=-2,\quad x-3y=-1$$

1) $$x-2y=1,\ x-3y=2$$

Вычтем второе уравнение из первого:

$$y=-1$$

Тогда $$x-2(-1)=1$$, откуда $$x=-1$$.

2) $$x-2y=2,\ x-3y=1$$

$$y=1,\quad x=4$$.

3) $$x-2y=-1,\ x-3y=-2$$

$$y=1,\quad x=1$$.

4) $$x-2y=-2,\ x-3y=-1$$

$$y=-1,\quad x=-4$$.

б)

$$x^2+2xy-8y^2=7$$

$$x^2-2xy+4xy-8y^2=7$$

$$x(x-2y)+4y(x-2y)=7$$

$$ (x+4y)(x-2y)=7 $$

Так как произведение равно простому числу $$7$$, возможны пары:

$$x+4y=1,\quad x-2y=7$$

$$x+4y=7,\quad x-2y=1$$

$$x+4y=-1,\quad x-2y=-7$$

$$x+4y=-7,\quad x-2y=-1$$

1) $$x+4y=1,\ x-2y=7$$

$$6y=-6,\quad y=-1,\quad x=5$$.

2) $$x+4y=7,\ x-2y=1$$

$$6y=6,\quad y=1,\quad x=3$$.

3) $$x+4y=-1,\ x-2y=-7$$

$$6y=6,\quad y=1,\quad x=-5$$.

4) $$x+4y=-7,\ x-2y=-1$$

$$6y=-6,\quad y=-1,\quad x=-3$$.

Ответ

а) $$(-1;\,-1),\ (4;\,1),\ (1;\,1),\ (-4;\,-1)$$;

б) $$(-5;\,1),\ (5;\,-1),\ (-3;\,-1),\ (3;\,1)$$.