Упр.57.31 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) (x^2 — 2x)(tg^2 x + 2^(х + 1)) < = 0; б) (x^2 + 4x)(ctg^2 x + 3^(х - 1)) < = 0

а) Рассмотрим неравенство

$$\left(x^2-2x\right)\left(\tg^2 x+2^{x+1}\right)\le 0.$$

Второй множитель положителен при всех допустимых значениях $x$:

$$\tg^2 x\ge 0,\qquad 2^{x+1}>0,$$

значит

$$\tg^2 x+2^{x+1}>0.$$

Тогда неравенство равносильно системе

$$ \begin{cases} x^2-2x\le 0,\\ x\ne \dfrac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z. \end{cases} $$

Решаем первое неравенство:

$$x(x-2)\le 0,$$

откуда

$$0\le x\le 2.$$

Исключаем точки, в которых выражение не имеет смысла: $x=\dfrac{\pi}{2}+\pi n$. На отрезке $[0;2]$ это точка $x=\dfrac{\pi}{2}$.

Следовательно,

$$x\in\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right)\cup\left(\dfrac{\pi}{2};2\right].$$

б) Рассмотрим неравенство

$$\left(x^2+4x\right)\left(\ctg^2 x+3^{x-1}\right)\le 0.$$

Второй множитель положителен при всех допустимых значениях $x$:

$$\ctg^2 x\ge 0,\qquad 3^{x-1}>0,$$

значит

$$\ctg^2 x+3^{x-1}>0.$$

Тогда неравенство равносильно системе

$$ \begin{cases} x^2+4x\le 0,\\ x\ne \pi n,\quad n\in\mathbb Z. \end{cases} $$

Решаем первое неравенство:

$$x(x+4)\le 0,$$

откуда

$$-4\le x\le 0.$$

Исключаем точки, в которых выражение не имеет смысла: $x=\pi n$. На отрезке $[-4;0]$ это точки $x=-\pi$ и $x=0$.

Следовательно,

$$x\in[-4;-\pi)\cup(-\pi;0).$$

Ответ

а) $$x\in\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right)\cup\left(\dfrac{\pi}{2};2\right].$$

б) $$x\in[-4;-\pi)\cup(-\pi;0).$$