Упр.57.30 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) (x + 3) log1/7 x < 0; б) (х - 5) корень(x + 1) < 0; в) (e^(3x - 1) - 1) / (x + 8) > 0;
г) xкорень(х + 7) < 0.

1. а) $$\left(x+3\right)\log_{\frac17}x<0$$

   Область определения: $$x>0.$$

   Произведение отрицательно, если множители разных знаков.

   1) $$x+3>0,\ \log_{\frac17}x<0$$
   Тогда $$x>-3$$ и, так как основание $$\frac17<1,$$ получаем $$x>1.$$
   Совместно: $$x>1.$$

   2) $$x+3<0,\ \log_{\frac17}x>0$$
   Тогда $$x<-3,$$ а из ОДЗ $$x>0.$$
   Совместных решений нет.

   Итак, $$x\in(1;+\infty).$$

2. б) $$\left(x-5\right)\sqrt{x+1}<0$$

   Область определения: $$x+1\ge 0,\ то\ есть\ x\ge -1.$$

   Так как $$\sqrt{x+1}\ge 0,$$ произведение будет отрицательным только при

   $$x-5<0,\quad \sqrt{x+1}>0.$$

   Отсюда

   $$x<5,\quad x>-1.$$

   Следовательно, $$x\in(-1;5).$$

3. в) $$\dfrac{e^{3x-1}-1}{x+8}>0$$

   Область определения: $$x\ne -8.$$

   Дробь положительна, если числитель и знаменатель одного знака.

   1) $$e^{3x-1}-1>0,\ x+8>0$$
   Тогда $$e^{3x-1}>1,$$ значит $$3x-1>0,$$ то есть $$x>\frac13.$$
   И одновременно $$x>-8.$$
   Получаем $$x>\frac13.$$

   2) $$e^{3x-1}-1<0,\ x+8<0$$
   Тогда $$e^{3x-1}<1,$$ значит $$3x-1<0,$$ то есть $$x<\frac13.$$
   И одновременно $$x<-8.$$
   Получаем $$x<-8.$$

   Итак, $$x\in(-\infty;-8)\cup\left(\frac13;+\infty\right).$$

4. г) $$x\sqrt{x+7}<0$$

   Область определения: $$x+7\ge 0,$$ то есть $$x\ge -7.$$

   Так как $$\sqrt{x+7}\ge 0,$$ произведение отрицательно только при

   $$x<0,\quad \sqrt{x+7}>0.$$

   Отсюда

   $$x<0,\quad x>-7.$$

   Следовательно, $$x\in(-7;0).$$

Ответ

а) $$x\in(1;+\infty)$$; б) $$x\in(-1;5)$$; в) $$x\in(-\infty;-8)\cup\left(\frac13;+\infty\right)$$; г) $$x\in(-7;0)$$.