Упр.57.28 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) (х — 2) log4 (х + 2) > = 0;
б) (3 — x) корень(log3 (x + 5)) < = 0.

а) Рассмотрим неравенство $$ (x-2)\log_4(x+2)\ge 0. $$

Область определения: $$x+2>0,\quad x>-2.$$

Произведение неотрицательно, когда оба множителя одного знака:

$$ \begin{cases} x-2\ge 0,\\ \log_4(x+2)\ge 0 \end{cases} \quad \text{или} \quad \begin{cases} x-2\le 0,\\ \log_4(x+2)\le 0 \end{cases} $$

Так как основание логарифма $$4>1,$$ то

$$ \log_4(x+2)\ge 0 \iff x+2\ge 1 \iff x\ge -1, $$
$$ \log_4(x+2)\le 0 \iff 0<x+2\le 1 \iff -2<x\le -1. $$

Тогда получаем:

$$ \begin{cases} x\ge 2,\\ x\ge -1 \end{cases} \Rightarrow x\ge 2, \qquad \begin{cases} x\le 2,\\ -2<x\le -1 \end{cases} \Rightarrow -2<x\le -1. $$

Следовательно,

$$ x\in(-2;-1]\cup[2;+\infty). $$

б) Рассмотрим неравенство $$ (3-x)\sqrt{\log_3(x+5)}\le 0. $$

Для существования корня нужно:

$$ \log_3(x+5)\ge 0. $$

Так как основание логарифма $$3>1,$$ то

$$ \log_3(x+5)\ge 0 \iff x+5\ge 1 \iff x\ge -4. $$

Кроме того, $$\sqrt{\log_3(x+5)}\ge 0,$$ поэтому произведение $$ (3-x)\sqrt{\log_3(x+5)}\le 0 $$ выполняется, если:

$$ \begin{cases} 3-x\le 0,\\ \log_3(x+5)\ge 0 \end{cases} \quad \text{или} \quad \sqrt{\log_3(x+5)}=0. $$

Из первого случая:

$$ 3-x\le 0 \iff x\ge 3. $$

Из второго случая:

$$ \log_3(x+5)=0 \iff x+5=1 \iff x=-4. $$

Итак,

$$ x=-4 \quad \text{или} \quad x\ge 3. $$

Ответ

а) $$x\in(-2;-1]\cup[2;+\infty).$$

б) $$x=-4,\; x\in[3;+\infty).$$