Упр.57.19 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) 3^x + 3^(-x + 1) < = 4; б) 25^-x - 50 > 5^(-x + 1).

1. а) $$3^x+3^{-x+1}\le 4$$

   Преобразуем неравенство:

   $$3^x+\frac{3}{3^x}\le 4.$$

   Сделаем замену:

   $$t=3^x,\quad t>0.$$

   Тогда получаем:

   $$t+\frac{3}{t}\le 4.$$

   Умножим на $$t>0$$:

   $$t^2-4t+3\le 0.$$

   Разложим на множители:

   $$ (t-1)(t-3)\le 0.$$

   Отсюда:

   $$1\le t\le 3.$$

   Возвращаемся к переменной $$x$$:

   $$1\le 3^x\le 3.$$

   Так как $$3^0=1$$ и $$3^1=3$$, то

   $$0\le x\le 1.$$

2. б) $$25^{-x}-50>5^{-x+1}$$

   Представим всё через основание $$5$$:

   $$5^{-2x}-50>5\cdot 5^{-x}.$$

   Сделаем замену:

   $$t=5^{-x},\quad t>0.$$

   Тогда:

   $$t^2-5t-50>0.$$

   Разложим на множители:

   $$ (t+5)(t-10)>0.$$

   С учётом $$t>0$$ получаем:

   $$t>10.$$

   Возвращаемся к переменной $$x$$:

   $$5^{-x}>10.$$

   Так как функция $$5^{-x}$$ убывает, то

   $$-x>\log_5 10,$$

   откуда

   $$x<-\log_5 10.$$

   Так как $$-\log_5 10=\log_5 0{,}1,$$ то

   $$x<\log_5 0{,}1.$$

Ответ

а) $$x\in[0;1]$$; б) $$x<\log_5 0{,}1$$.