Упр.57.16 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) З^2x — 2 * 3^x — 3 > = 0;
б) 2 * 5^2x — 5^x — 1 < = 0.

1. а) Сделаем замену: $$t=3^x.$$ Тогда неравенство принимает вид

   $$t^2-2t-3\ge 0.$$

   Разложим на множители:

   $$t^2-2t-3=(t-3)(t+1).$$

   Получаем:

   $$ (t-3)(t+1)\ge 0.$$

   Отсюда $$t\le -1$$ или $$t\ge 3.$$

   Так как $$t=3^x>0,$$ то подходит только $$t\ge 3.$$ Значит,

   $$3^x\ge 3=3^1,$$

   откуда

   $$x\ge 1.$$

2. б) Сделаем замену: $$t=5^x.$$ Тогда неравенство принимает вид

   $$2t^2-t-1\le 0.$$

   Разложим на множители:

   $$2t^2-t-1=(2t+1)(t-1).$$

   Получаем:

   $$ (2t+1)(t-1)\le 0.$$

   Отсюда

   $$-\frac12\le t\le 1.$$

   Так как $$t=5^x>0,$$ то остаётся

   $$0<t\le 1.$$

   Возвращаемся к исходной переменной:

   $$0<5^x\le 1=5^0.$$

   Следовательно,

   $$x\le 0.$$

Ответ

а) $$x\in[1;+\infty).$$
б) $$x\in(-\infty;0].$$