Упр.56.6 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) (2^2x + 16)^20 = (10 * 2^x)^20;
б) (log0,1^2 x — 2)^3 = (2 log0,1 x + 1)^3.

а) Пусть $$t=2^x.$$ Тогда уравнение принимает вид

$$ (2^{2x}+16)^{20}=(10\cdot 2^x)^{20} $$

Так как степени одинаковые, получаем

$$ 2^{2x}+16=10\cdot 2^x. $$

Сделаем замену $$t=2^x$$. Тогда $$2^{2x}=t^2$$, и имеем

$$ t^2-10t+16=0. $$

Решим квадратное уравнение:

$$ D=10^2-4\cdot 1\cdot 16=100-64=36, $$

$$ t_{1,2}=\frac{10\pm 6}{2}. $$

Отсюда

$$ t_1=8,\quad t_2=2. $$

Возвращаемся к переменной $$x$$:

$$ 2^x=8=2^3 \Rightarrow x=3, $$

$$ 2^x=2=2^1 \Rightarrow x=1. $$

Оба корня подходят.

б) Область допустимых значений: $$x>0.$$

Пусть $$t=\log_{0,1}x.$$ Тогда уравнение перепишется так:

$$ (\log_{0,1}^2 x-2)^3=(2\log_{0,1}x+1)^3 $$

Следовательно,

$$ \log_{0,1}^2 x-2=2\log_{0,1}x+1. $$

Перенесём всё в одну сторону:

$$ \log_{0,1}^2 x-2\log_{0,1}x-3=0. $$

Сделаем замену $$t=\log_{0,1}x$$. Тогда

$$ t^2-2t-3=0. $$

Решим уравнение:

$$ D=(-2)^2-4\cdot 1\cdot(-3)=4+12=16, $$

$$ t_{1,2}=\frac{2\pm 4}{2}. $$

Получаем

$$ t_1=3,\quad t_2=-1. $$

Возвращаемся к переменной $$x$$:

$$ \log_{0,1}x=3 \Rightarrow x=0{,}1^3=0{,}001, $$

$$ \log_{0,1}x=-1 \Rightarrow x=0{,}1^{-1}=10. $$

Оба значения удовлетворяют ОДЗ.

Ответ

а) $$1; 3$$

б) $$10; 0{,}001$$