Упр.56.42 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) log2 (x^2 — 4x + 8) = sin 5пиx/4 — cos пиx/2;
б) log3 (x^2 + 4x + 13) = cos пиx — sin пиx/4.

а) Рассмотрим функции

$$y=\log_2(x^2-4x+8), \qquad g=\sin\frac{5\pi x}{4}-\cos\frac{\pi x}{2}.$$

Преобразуем выражение под логарифмом:

$$x^2-4x+8=(x-2)^2+4.$$

Так как $(x-2)^2\ge 0$, то

$$x^2-4x+8\ge 4,$$

значит

$$\log_2(x^2-4x+8)\ge \log_2 4=2,$$

и равенство достигается при $$x=2.$$

Теперь оценим правую часть:

$$\sin\frac{5\pi x}{4}\le 1,\qquad -\cos\frac{\pi x}{2}\le 1,$$

следовательно

$$\sin\frac{5\pi x}{4}-\cos\frac{\pi x}{2}\le 2.$$

Чтобы левая часть равнялась правой, обе должны быть равны $$2.$$ Это возможно при $$x=2,$$ так как

$$\sin\frac{5\pi\cdot 2}{4}-\cos\frac{\pi\cdot 2}{2}=\sin\frac{5\pi}{2}-\cos\pi=1-(-1)=2.$$

Значит, $$x=2.$$

б) Рассмотрим функции

$$y=\log_3(x^2+4x+13), \qquad g=\cos\pi x-\sin\frac{\pi x}{4}.$$

Преобразуем выражение под логарифмом:

$$x^2+4x+13=(x+2)^2+9.$$

Так как $(x+2)^2\ge 0$, то

$$x^2+4x+13\ge 9,$$

значит

$$\log_3(x^2+4x+13)\ge \log_3 9=2,$$

и равенство достигается при $$x=-2.$$

Оценим правую часть:

$$\cos\pi x\le 1,\qquad -\sin\frac{\pi x}{4}\le 1,$$

поэтому

$$\cos\pi x-\sin\frac{\pi x}{4}\le 2.$$

Равенство $$2$$ достигается при $$x=-2$$:

$$\cos(\pi\cdot(-2))-\sin\frac{\pi\cdot(-2)}{4}=\cos(-2\pi)-\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)=1-(-1)=2.$$

Следовательно, $$x=-2.$$

Ответ

а) $$x=2$$; б) $$x=-2$$.