Упр.56.41 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) корень(x^2 — 2x + 2) + log3 корень(x^3 — 2x + 10) = 2;
б) (x — 7)^6 + log5 корень(x^2 — 14x + 74) = 1.

а) Обозначим

$$y=\sqrt{x^2-2x+10}.$$

Тогда

$$y^2=x^2-2x+10,$$

а значит

$$x^2-2x+2=y^2-8.$$

Исходное уравнение примет вид

$$\sqrt{y^2-8}+\log_3 y=2.$$

Область определения: $$y>0,$$ и $$y^2-8\ge 0.$$

Рассмотрим функции

$$f(y)=\sqrt{y^2-8}, \qquad g(y)=2-\log_3 y.$$

При $$y>0$$ функция $$f(y)$$ возрастает, а $$g(y)$$ убывает, поэтому решение может быть только в точке их пересечения. Проверим $$y=3$$:

$$\sqrt{3^2-8}+\log_3 3=\sqrt{1}+1=2.$$

Значит, $$y=3$$. Возвращаемся к замене:

$$\sqrt{x^2-2x+10}=3,$$

$$x^2-2x+10=9,$$

$$x^2-2x+1=0,$$

$$\left(x-1\right)^2=0,$$

$$x=1.$$

б) Обозначим

$$y=\sqrt{x^2-14x+74}.$$

Тогда

$$y^2=x^2-14x+74,$$

и

$$x^2-14x+49=y^2-25.$$

Исходное уравнение примет вид

$$\left(y^2-25\right)^3+\log_5 y=1.$$

Область определения: $$y>0,$$ и $$y^2-25\ge 0.$$

Рассмотрим функции

$$f(y)=\left(y^2-25\right)^3, \qquad g(y)=1-\log_5 y.$$

При $$y>0$$ функция $$f(y)$$ возрастает, а $$g(y)$$ убывает, значит решение может быть только в точке пересечения. Проверим $$y=5$$:

$$\left(5^2-25\right)^3+\log_5 5=0+1=1.$$

Следовательно, $$y=5$$. Тогда

$$\sqrt{x^2-14x+74}=5,$$

$$x^2-14x+74=25,$$

$$x^2-14x+49=0,$$

$$\left(x-7\right)^2=0,$$

$$x=7.$$

Ответ

а) $$1$$; б) $$7$$.