Упр.56.38 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Задача

а) 2^х * 5^((1 + х)/x) = 50;
б) 3^х * 2^(3/х) = 24;
в) 3^(х — 1) * 625^((x — 2)/(х — 1)) = 225;
г) 5^х * 2^((2 — x)/х) = 40.

Подробный ответ

а) $$2^x \cdot 5^{\frac{1+x}{x}}=50$$
$$2^x \cdot 5^{\frac1x+1}=50$$
$$2^x \cdot 5^{\frac1x}=10$$
Возьмём логарифм по основанию $$2$$:
$$\log_2\!\left(2^x \cdot 5^{\frac1x}\right)=\log_2 10$$
$$x+\frac{\log_2 5}{x}=\log_2 10$$
$$x^2-(\log_2 10)x+\log_2 5=0$$
$$D=(\log_2 10)^2-4\log_2 5=(1-\log_2 5)^2$$
$$x=\frac{\log_2 10\pm(1-\log_2 5)}{2}$$
$$x_1=1,\quad x_2=\log_2 5$$
б) $$3^x \cdot 2^{\frac3x}=24$$
$$\log_3\!\left(3^x \cdot 2^{\frac3x}\right)=\log_3 24$$
$$x+\frac{3\log_3 2}{x}=\log_3 24$$
$$x^2-(\log_3 24)x+3\log_3 2=0$$
$$D=(\log_3 24)^2-12\log_3 2=(1-3\log_3 2)^2$$
$$x=\frac{\log_3 24\pm(1-3\log_3 2)}{2}$$
$$x_1=1,\quad x_2=3\log_3 2$$
в) $$3^{x-1}\cdot 625^{\frac{x-2}{x-1}}=225$$
ОДЗ: $$x\ne 1$$.
$$625=5^4,\quad 225=3^2\cdot 5^2$$
Возьмём логарифм по основанию $$3$$:
$$x-1+\frac{4(x-2)}{x-1}\log_3 5=2+2\log_3 5$$
Умножим на $$x-1$$:
$$ (x-1)^2+4(x-2)\log_3 5=(2+2\log_3 5)(x-1) $$
После преобразований получаем:
$$ (x-1)^2+(2\log_3 5-2)(x-1)-4\log_3 5=0 $$
Пусть $$t=x-1$$. Тогда
$$t^2+(2\log_3 5-2)t-4\log_3 5=0$$
$$D=(2\log_3 5+2)^2$$
$$t_1=-2\log_3 5,\quad t_2=2$$
$$x_1=1-2\log_3 5=\log_3\frac{3}{25}=\log_3 0{,}12,\quad x_2=3$$
г) $$5^x \cdot 2^{\frac{2+x}{x}}=40$$
$$5^x \cdot 2^{1+\frac2x}=40$$
$$5^x \cdot 2^{\frac2x}=20$$
Возьмём логарифм по основанию $$5$$:
$$x+\frac{2\log_5 2}{x}=\log_5 20$$
$$x^2-(\log_5 20)x+2\log_5 2=0$$
$$D=(\log_5 20)^2-8\log_5 2=(1-2\log_5 2)^2$$
$$x=\frac{\log_5 20\pm(1-2\log_5 2)}{2}$$
$$x_1=1,\quad x_2=\log_5 4$$