Упр.56.32 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) x^2 — 4x — 6 = корень(2x^2 — 8x + 12);
б) корень(x^2 — 3x + 5) + x^2 = 3x + 7.

а) Обозначим $$y=\sqrt{2x^2-8x+12}.$$ Тогда

$$y^2=2x^2-8x+12,$$

откуда

$$x^2-4x-6=\frac{y^2}{2}-6.$$

Подставим это в исходное уравнение:

$$\frac{y^2}{2}-6=y,$$

$$y^2-12=2y,$$

$$y^2-2y-24=0.$$

Решаем квадратное уравнение:

$$D=(-2)^2-4\cdot 1\cdot(-24)=100,$$

$$y_{1,2}=\frac{2\pm 10}{2},$$

$$y_1=-4,\quad y_2=6.$$

Так как $$y=\sqrt{2x^2-8x+12}\ge 0,$$ значение $$y=-4$$ не подходит.

Остаётся:

$$\sqrt{2x^2-8x+12}=6,$$

$$2x^2-8x+12=36,$$

$$2x^2-8x-24=0,$$

$$x^2-4x-12=0,$$

$$\left(x+2\right)\left(x-6\right)=0.$$

Следовательно,

$$x=-2 \quad \text{или} \quad x=6.$$

б) Обозначим $$y=\sqrt{x^2-3x+5}.$$ Тогда

$$y^2=x^2-3x+5,$$

и исходное уравнение принимает вид

$$y+y^2-5=3x+7.$$

Удобнее перенести всё в одну сторону:

$$\sqrt{x^2-3x+5}=3x+7-x^2.$$

Положим

$$t=x^2-3x+5,\quad t\ge 0.$$

Тогда

$$\sqrt{t}=12-t.$$

Так как левая часть неотрицательна, то $$12-t\ge 0,$$ значит $$0\le t\le 12.$$

Возведём в квадрат:

$$t=(12-t)^2,$$

$$t=144-24t+t^2,$$

$$t^2-25t+144=0.$$

$$D=25^2-4\cdot 144=49,$$

$$t_{1,2}=\frac{25\pm 7}{2},$$

$$t_1=9,\quad t_2=16.$$

По условию $$0\le t\le 12,$$ поэтому подходит только $$t=9.$$

Тогда

$$x^2-3x+5=9,$$

$$x^2-3x-4=0,$$

$$\left(x+1\right)\left(x-4\right)=0.$$

Следовательно,

$$x=-1 \quad \text{или} \quad x=4.$$

Ответ

а) $$-2,\ 6$$; б) $$-1,\ 4$$.