Упр.56.31 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) корень(3x — 1) + корень(6x + 2) = корень(9x + 1);
б) корень(6x — 14) + корень(5 — x) = корень(5x — 9).

1. а) Рассмотрим уравнение

   $$\sqrt{3x-1}+\sqrt{6x+2}=\sqrt{9x+1}.$$

   ОДЗ:

   $$ \begin{aligned} 3x-1&\ge 0,\\ 6x+2&\ge 0,\\ 9x+1&\ge 0. \end{aligned} $$

   Отсюда $$x\ge \frac13.$$

   Возведём обе части в квадрат:

   $$ 3x-1+2\sqrt{(3x-1)(6x+2)}+6x+2=9x+1. $$

   После сокращения получаем:

   $$2\sqrt{(3x-1)(6x+2)}=0,$$

   значит

   $$ (3x-1)(6x+2)=0. $$

   Тогда

   $$ 3x-1=0 \quad \text{или} \quad 6x+2=0. $$

   Отсюда $$x=\frac13$$ или $$x=-\frac13.$$

   С учётом ОДЗ подходит только $$x=\frac13.$$

2. б) Рассмотрим уравнение

   $$\sqrt{6x-14}+\sqrt{5-x}=\sqrt{5x-9}.$$

   ОДЗ:

   $$ \begin{aligned} 6x-14&\ge 0,\\ 5-x&\ge 0,\\ 5x-9&\ge 0. \end{aligned} $$

   Отсюда

   $$x\ge \frac73,\quad x\le 5,\quad x\ge \frac95.$$

   Следовательно, $$\frac73\le x\le 5.$$

   Возведём обе части в квадрат:

   $$ 6x-14+2\sqrt{(6x-14)(5-x)}+5-x=5x-9. $$

   После сокращения:

   $$2\sqrt{(6x-14)(5-x)}=0,$$

   значит

   $$ (6x-14)(5-x)=0. $$

   Тогда

   $$ 6x-14=0 \quad \text{или} \quad 5-x=0. $$

   Получаем $$x=\frac73$$ или $$x=5.$$ Оба значения удовлетворяют ОДЗ.

Ответ

а) $$\frac13$$; б) $$\frac73,\ 5$$.