Упр.56.19 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) 7^(2x + 1) — 50 * 7^x = -7;
б) log2^2 x + 12 = 7 log2 x;
в) 4 sin^2 x + 4 = 17 sin x;
г) (3)корень(х) — (6)корень(х) — 2 = 0.

1. $$7^{2x+1}-50\cdot 7^x=-7$$

   Перенесём всё в левую часть и сделаем замену:

   $$7\cdot 7^{2x}-50\cdot 7^x+7=0$$

   $$y=7^x,\quad y>0$$

   Тогда получаем квадратное уравнение:

   $$7y^2-50y+7=0$$

   $$D=50^2-4\cdot 7\cdot 7=2500-196=2304$$

   $$y_{1,2}=\frac{50\pm 48}{14}$$

   $$y_1=\frac{1}{7},\quad y_2=7$$

   Возвращаемся к переменной $$x$$:

   $$7^x=\frac{1}{7}=7^{-1}\Rightarrow x=-1$$

   $$7^x=7\Rightarrow x=1$$

2. $$\log_2^2 x+12=7\log_2 x$$

   Сделаем замену:

   $$y=\log_2 x$$

   Тогда:

   $$y^2-7y+12=0$$

   $$D=49-48=1$$

   $$y_{1,2}=\frac{7\pm 1}{2}$$

   $$y_1=3,\quad y_2=4$$

   Возвращаемся к $$x$$:

   $$\log_2 x=3\Rightarrow x=2^3=8$$

   $$\log_2 x=4\Rightarrow x=2^4=16$$

3. $$4\sin^2 x+4=17\sin x$$

   Сделаем замену:

   $$y=\sin x,\quad -1\le y\le 1$$

   Тогда:

   $$4y^2-17y+4=0$$

   $$D=17^2-4\cdot 4\cdot 4=289-64=225$$

   $$y_{1,2}=\frac{17\pm 15}{8}$$

   $$y_1=4,\quad y_2=\frac14$$

   Значение $$y_1=4$$ не подходит, так как $$\sin x\in[-1;1]$$.

   Остаётся:

   $$\sin x=\frac14$$

   $$x=(-1)^n\arcsin\frac14+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

4. $$\sqrt[3]{x}-\sqrt[6]{x}-2=0$$

   Сделаем замену:

   $$y=\sqrt[6]{x},\quad y\ge 0$$

   Тогда:

   $$y^2-y-2=0$$

   $$\left(y+1\right)\left(y-2\right)=0$$

   $$y_1=-1,\quad y_2=2$$

   Так как $$y\ge 0$$, значение $$y_1=-1$$ не подходит.

   Получаем:

   $$\sqrt[6]{x}=2$$

   $$x=2^6=64$$

Ответ

а) $$-1; 1$$; б) $$8; 16$$; в) $$x=(-1)^n\arcsin\frac14+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$; г) $$64$$.