Упр.56.17 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) корень((2x + 3)/(2x — 1)) + 4корень((2x — 1)/(2x + 3)) = 4;
б) корень((5x — 1)/(x + 3)) + 5корень((x + 3)/(5x — 1)) = 6.

а) Введём новую переменную:

$$t=\sqrt{\frac{2x+3}{2x-1}}, \quad t>0.$$

Тогда

$$\sqrt{\frac{2x-1}{2x+3}}=\frac{1}{t}.$$

Получаем уравнение

$$t+\frac{4}{t}=4.$$

Умножим на $$t$$:

$$t^2-4t+4=0,$$

$$\left(t-2\right)^2=0,$$

$$t=2.$$

Возвращаемся к исходной переменной:

$$\sqrt{\frac{2x+3}{2x-1}}=2,$$

$$\frac{2x+3}{2x-1}=4,$$

$$2x+3=4(2x-1),$$

$$2x+3=8x-4,$$

$$6x=7,$$

$$x=\frac{7}{6}.$$

б) Введём новую переменную:

$$t=\sqrt{\frac{5x-1}{x+3}}, \quad t>0.$$

Тогда

$$\sqrt{\frac{x+3}{5x-1}}=\frac{1}{t}.$$

Получаем уравнение

$$t+\frac{5}{t}=6.$$

Умножим на $$t$$:

$$t^2-6t+5=0,$$

$$\left(t-1\right)\left(t-5\right)=0,$$

$$t=1 \quad \text{или} \quad t=5.$$

1) Если $$t=1$$, то

$$\sqrt{\frac{5x-1}{x+3}}=1,$$

$$\frac{5x-1}{x+3}=1,$$

$$5x-1=x+3,$$

$$4x=4,$$

$$x=1.$$

2) Если $$t=5$$, то

$$\sqrt{\frac{5x-1}{x+3}}=5,$$

$$\frac{5x-1}{x+3}=25,$$

$$5x-1=25(x+3),$$

$$5x-1=25x+75,$$

$$-20x=76,$$

$$x=-\frac{76}{20}=-\frac{19}{5}.$$

Оба значения удовлетворяют области определения.

Ответ

а) $$\frac{7}{6}$$; б) $$1,\,-\frac{19}{5}$$.