Упр.56.13 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) 2x^2 sin x — 8 sin x + 4 = х^2;
б) 2x^2 cos x + 9 = 18 cos x + х^2.

1. а) Преобразуем уравнение:

   $$2x^2\sin x-8\sin x+4=x^2$$

   $$2x^2\sin x-8\sin x+4-x^2=0$$

   $$x^2(2\sin x-1)-4(2\sin x-1)=0$$

   $$\left(2\sin x-1\right)\left(x^2-4\right)=0$$

   Отсюда:

   $$2\sin x-1=0 \quad \text{или} \quad x^2-4=0$$

   $$\sin x=\frac12 \quad \text{или} \quad x=\pm 2$$

   Если $$\sin x=\frac12$$, то

   $$x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}$$

2. б) Преобразуем уравнение:

   $$2x^2\cos x+9=18\cos x+x^2$$

   $$2x^2\cos x+9-18\cos x-x^2=0$$

   $$x^2(2\cos x-1)-9(2\cos x-1)=0$$

   $$\left(2\cos x-1\right)\left(x^2-9\right)=0$$

   Отсюда:

   $$2\cos x-1=0 \quad \text{или} \quad x^2-9=0$$

   $$\cos x=\frac12 \quad \text{или} \quad x=\pm 3$$

   Если $$\cos x=\frac12$$, то

   $$x=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}$$

Ответ

а) $$x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z};\ \pm 2.$$

б) $$x=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z};\ \pm 3.$$