Упр.56.1 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) 3^(2 — х) = З^(х^2 — 4х);
б) (Зх^2 — 2)^4 = (х — З)^4;
в) (3)корень(7 — х) = (3)корень(5х + 1);
г) lg 1/x = lg (2х — 7)?

1. а) $$3^{2-x}=3^{x^2-4x}$$

   Функция $$y=3^x$$ строго возрастает, поэтому равенство показателей равносильно исходному уравнению:

   $$2-x=x^2-4x$$

   Следовательно, уравнения равносильны.

   Ответ: да.

2. б) $$(3x^2-2)^4=(x-3)^4$$

   Функция $$y=x^4$$ не является взаимно однозначной, поэтому из равенства четвёртых степеней нельзя перейти к равенству оснований без потери корней.

   Следовательно, уравнения неравносильны.

   Ответ: нет.

3. в) $$\sqrt[3]{7-x}=\sqrt[3]{5x+1}$$

   Функция $$y=\sqrt[3]{x}$$ строго возрастает на всей числовой прямой, поэтому можно возвести обе части в куб:

   $$\left(\sqrt[3]{7-x}\right)^3=\left(\sqrt[3]{5x+1}\right)^3$$

   $$7-x=5x+1$$

   Переход равносилен, значит уравнения равносильны.

   Ответ: да.

4. г) $$\lg\frac{1}{x}=\lg(2x-7)$$

   Для логарифмов нужны условия:

   $$\frac{1}{x}>0,\qquad 2x-7>0$$

   То есть область определения исходного уравнения задаётся не только равенством аргументов, но и дополнительными ограничениями. Поэтому переход к уравнению

   $$\frac{1}{x}=2x-7$$

   не является равносильным без учёта ОДЗ.

   Следовательно, уравнения неравносильны.

   Ответ: нет.