Упр.55.4 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

a) корень(2х^2 + 2) = корень(х^4 + 3) и 2х^2 + 2 = х^4 + 3;
б) (4)корень(sin^2 (x + 1)) = 1 и sin^2 x = 0?

1. а) Рассмотрим уравнения $$\sqrt{2x^2+2}=\sqrt{x^4+3}$$ и $$2x^2+2=x^4+3.$$

   Обе части первого уравнения определены при всех $$x\in \mathbb{R}$$, так как

   $$2x^2+2\ge 0,\qquad x^4+3\ge 0.$$

   Кроме того, обе части неотрицательны. Тогда можно возвести обе части в квадрат:

   $$\left(\sqrt{2x^2+2}\right)^2=\left(\sqrt{x^4+3}\right)^2,$$

   откуда получаем

   $$2x^2+2=x^4+3.$$

   Следовательно, уравнения равносильны.

2. б) Рассмотрим уравнения $$\sqrt[4]{\sin^2 x+1}=1$$ и $$\sin^2 x=0.$$

   Первое уравнение имеет смысл при всех $$x\in \mathbb{R}$$, так как

   $$\sin^2 x+1\ge 0.$$

   Обе части первого уравнения неотрицательны, поэтому можно возвести их в четвертую степень:

   $$\left(\sqrt[4]{\sin^2 x+1}\right)^4=1^4,$$

   откуда

   $$\sin^2 x+1=1,$$

   $$\sin^2 x=0.$$

   Значит, уравнения равносильны.

Ответ

а) да; б) да.