Упр.54.6 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
Известно, что каждую задачу из общего списка задач кто-то из учеников решил.
Какова вероятность того, что случайным образом выбранную из списка задачу:
а) решили оба ученика;
б) решил первый, но не решил второй ученик;
в) решил второй, но не решил первый ученик?
Измените в условии общее количество учеников так, чтобы ответы в пунктах а) и б) были одинаковыми.
Обозначим через $$A$$ множество задач, решённых первым учеником, а через $$B$$ — множество задач, решённых вторым учеником. Тогда
$$|A|=44,\quad |B|=26,\quad |A\cup B|=50.$$
Так как каждую задачу из списка решил хотя бы один ученик, то число задач, решённых обоими, равно
$$|A\cap B|=|A|+|B|-|A\cup B|=44+26-50=20.$$
а) Вероятность того, что случайно выбранную задачу решили оба ученика:
$$P(A\cap B)=\frac{20}{50}=0{,}4.$$
б) Вероятность того, что задачу решил первый, но не решил второй ученик:
$$|A\setminus B|=|A|-|A\cap B|=44-20=24,$$
$$P(A\setminus B)=\frac{24}{50}=0{,}48.$$
в) Вероятность того, что задачу решил второй, но не решил первый ученик:
$$|B\setminus A|=|B|-|A\cap B|=26-20=6,$$
$$P(B\setminus A)=\frac{6}{50}=0{,}12.$$
г) Пусть общее число задач равно $$N$$. Тогда
$$P(A\cap B)=P(A\setminus B).$$
Это означает, что
$$|A\cap B|=|A\setminus B|,$$
то есть
$$20=44-20,$$
если число задач в списке обозначить через $$N$$ и использовать формулу
$$|A\cap B|=|A|+|B|-N.$$
Тогда
$$44+26-N=44-(44+26-N),$$
$$70-N=N-26,$$
$$2N=96,$$
$$N=48.$$
Ответ
а) $$0{,}4$$; б) $$0{,}48$$; в) $$0{,}12$$; г) $$48$$ задач.
