Упр.54.5 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Какова вероятность того, что случайно вызванный по списку класса ученик:
а) и умный, и красивый;
б) умный, но не красивый;
в) красивый, но не умный?
Измените в условии общее количество учеников так, чтобы ответы в пунктах а) и в) были одинаковыми.

Обозначим:

$$A$$ — множество красивых учеников, $$|A|=22$$;

$$B$$ — множество умных учеников, $$|B|=18$$;

всего учеников $$N=30$$.

Так как каждый ученик в классе либо умный, либо красивый, то

$$|A\cup B|=30.$$

Тогда число учеников, которые и умные, и красивые:

$$|A\cap B|=|A|+|B|-|A\cup B|=22+18-30=10.$$

а) Вероятность того, что ученик и умный, и красивый:

$$P(A\cap B)=\frac{10}{30}=\frac{1}{3}.$$

б) Умных, но не красивых:

$$|B\setminus A|=|B|-|A\cap B|=18-10=8,$$

поэтому

$$P(B\setminus A)=\frac{8}{30}=\frac{4}{15}.$$

в) Красивых, но не умных:

$$|A\setminus B|=|A|-|A\cap B|=22-10=12,$$

значит

$$P(A\setminus B)=\frac{12}{30}=\frac{2}{5}.$$

г) Пусть общее число учеников равно $$x$$. Тогда число умных и красивых равно

$$22+18-x=40-x.$$

Чтобы ответы в пунктах а) и в) были одинаковыми, нужно:

$$\frac{40-x}{x}=\frac{22-(40-x)}{x}.$$

Отсюда

$$40-x=x-18,$$

$$2x=58,$$

$$x=29.$$

Значит, общее число учеников должно быть 29.

Ответ

а) $$\frac{1}{3}$$; б) $$\frac{4}{15}$$; в) $$\frac{2}{5}$$; г) $$29$$ учеников.