Упр.54.25 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Задача

Найдите вероятность того, что она лежит:
а) левее прямой х = 1;
б) правее прямой х = 2;
в) выше прямой у = 4;
г) ниже прямой у = 1.

Подробный ответ

Фигура ограничена графиком $$y=x^2$$, осью абсцисс $$y=0$$ и прямой $$x=3$$. Значит, область задаётся неравенствами $$0\le x\le 3$$, $$0\le y\le x^2$$.

Вероятность равна отношению площадей соответствующих частей фигуры к площади всей фигуры:

$$S_{\text{вс}}=\int_0^3 x^2\,dx=\left.\frac{x^3}{3}\right|_0^3=9.$$

а) Левее прямой $$x=1$$

$$S_a=\int_0^1 x^2\,dx=\left.\frac{x^3}{3}\right|_0^1=\frac13,$$
$$P_a=\frac{S_a}{S_{\text{вс}}}=\frac{1/3}{9}=\frac{1}{27}.$$

б) Правее прямой $$x=2$$

$$S_b=\int_2^3 x^2\,dx=\left.\frac{x^3}{3}\right|_2^3=\frac{27-8}{3}=\frac{19}{3},$$
$$P_b=\frac{S_b}{S_{\text{вс}}}=\frac{19/3}{9}=\frac{19}{27}.$$

в) Выше прямой $$y=4$$

Точка должна лежать там, где $$x^2\ge 4$$, то есть при $$x\in[2,3]$$. Тогда

$$S_c=\int_2^3 (x^2-4)\,dx=\left.\left(\frac{x^3}{3}-4x\right)\right|_2^3=\left(9-12\right)-\left(\frac83-8\right)=\frac73,$$
$$P_c=\frac{S_c}{S_{\text{вс}}}=\frac{7/3}{9}=\frac{7}{27}.$$

г) Ниже прямой $$y=1$$

На отрезке $$[0,1]$$ имеем $$x^2\le 1$$, а на отрезке $$[1,3]$$ вся часть фигуры лежит ниже прямой $$y=1$$ только между осью абсцисс и прямой $$y=1$$. Поэтому

$$S_d=\int_0^1 x^2\,dx+\int_1^3 1\,dx=\frac13+2=\frac73,$$
$$P_d=\frac{S_d}{S_{\text{вс}}}=\frac{7/3}{9}=\frac{7}{27}.$$