Упр.54.16 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Какова (в процентах) вероятность того, что на вашей карточке, где отмечены 6 чисел, верно угадано:
а) хотя бы одно число;
б) не более одного числа;
в) не менее трёх чисел;
г) 4, 5 или 6 чисел?

Общее число вариантов выбрать 6 чисел из 49:

$$N=C_{49}^{6}.$$

Если угадано ровно $$k$$ чисел, то нужно выбрать $$k$$ выигравших чисел из 6 и $$6-k$$ невыигравших из 43. Поэтому

$$P(k)=\dfrac{C_6^k\cdot C_{43}^{6-k}}{C_{49}^{6}}.$$

1. Хотя бы одно число:

   $$P(\ge 1)=1-P(0)=1-\dfrac{C_{43}^{6}}{C_{49}^{6}}.$$

   $$P(\ge 1)\approx 1-0{,}436=0{,}564,$$

   то есть $$56{,}4\%.$$

2. Не более одного числа:

   $$P(\le 1)=P(0)+P(1)=\dfrac{C_{43}^{6}+C_6^1\cdot C_{43}^{5}}{C_{49}^{6}}.$$

   $$P(\le 1)\approx 0{,}436+0{,}413=0{,}849,$$

   то есть $$84{,}9\%.$$

3. Не менее трёх чисел:

   $$P(\ge 3)=1-P(0)-P(1)-P(2).$$

   $$P(2)=\dfrac{C_6^2\cdot C_{43}^{4}}{C_{49}^{6}}\approx 0{,}132,$$

   значит

   $$P(\ge 3)\approx 1-(0{,}436+0{,}413+0{,}132)=0{,}019,$$

   то есть $$1{,}9\%.$$

4. 4, 5 или 6 чисел:

   $$P(4\text{ или }5\text{ или }6)=P(\ge 4)=1-P(0)-P(1)-P(2)-P(3).$$

   $$P(3)=\dfrac{C_6^3\cdot C_{43}^{3}}{C_{49}^{6}}\approx 0{,}0177,$$

   поэтому

   $$P(\ge 4)\approx 1-(0{,}436+0{,}413+0{,}132+0{,}0177)=0{,}0013,$$

   то есть $$0{,}13\%.$$

Ответ

а) $$56{,}4\%$$; б) $$84{,}9\%$$; в) $$1{,}9\%$$; г) $$0{,}13\%$$.