Упр.54.15 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Найдите вероятность того, что она:
а) лежит внутри треугольника;
б) лежит внутри окружности, вписанной в треугольник;
в) лежит вне треугольника;
г) лежит внутри треугольника, но не внутри вписанной в него окружности.

Найдём гипотенузу прямоугольного треугольника:

$$c=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=10.$$

Радиус описанной окружности прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы:

$$R=\frac{c}{2}=\frac{10}{2}=5.$$

Площадь описанной окружности:

$$S_{\text{окр}}=\pi R^2=\pi\cdot 5^2=25\pi.$$

Площадь треугольника:

$$S_{\triangle}=\frac12\cdot 6\cdot 8=24.$$

Радиус вписанной окружности:

$$r=\frac{6+8-10}{2}=2.$$

Площадь вписанной окружности:

$$S_{\text{вп}}=\pi r^2=\pi\cdot 2^2=4\pi.$$

а) Вероятность попасть внутрь треугольника:

$$P_a=\frac{S_{\triangle}}{S_{\text{окр}}}=\frac{24}{25\pi}\approx 0{,}306.$$

б) Вероятность попасть внутрь вписанной окружности:

$$P_b=\frac{S_{\text{вп}}}{S_{\text{окр}}}=\frac{4\pi}{25\pi}=\frac{4}{25}=0{,}16.$$

в) Вероятность попасть вне треугольника:

$$P_v=1-P_a=1-\frac{24}{25\pi}\approx 0{,}694.$$

г) Вероятность попасть внутрь треугольника, но не внутрь вписанной окружности:

$$P_g=P_a-P_b=\frac{24}{25\pi}-\frac{4}{25}=\frac{24-4\pi}{25\pi}\approx 0{,}146.$$

Ответ

а) $$\frac{24}{25\pi}\approx 0{,}306$$; б) $$0{,}16$$; в) $$1-\frac{24}{25\pi}\approx 0{,}694$$; г) $$\frac{24-4\pi}{25\pi}\approx 0{,}146$$.