Упр.54.11 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

На зачёте они отвечали в разных аудиториях и получали вопросы независимо друг от друга.
Найдите вероятность того, что:
а) каждому достался тот вопрос, который он выучил;
б) никому не достался вопрос, который он выучил;
в) только одному из них достался тот вопрос, который он не выучил;
г) хотя бы одному из них достался тот вопрос, который он выучил.

Вероятность того, что одному студенту достанется выученный им вопрос:

$$p=\frac{5}{20}=\frac14,$$

вероятность того, что невыученный вопрос:

$$q=1-p=\frac34.$$

Так как ответы независимы, используем формулу Бернулли:

$$P_n(k)=C_n^k p^k q^{\,n-k}.$$

Здесь $$n=4$$ — число приятелей.

1. Каждому достался выученный вопрос:

   $$P_4(4)=C_4^4\left(\frac14\right)^4\left(\frac34\right)^0=\left(\frac14\right)^4=\frac1{256}\approx 0{,}0039.$$

2. Никому не достался выученный вопрос:

   $$P_4(0)=C_4^0\left(\frac14\right)^0\left(\frac34\right)^4=\left(\frac34\right)^4=\frac{81}{256}\approx 0{,}3164.$$

3. Только одному достался выученный вопрос:

   $$P_4(1)=C_4^1\left(\frac14\right)^1\left(\frac34\right)^3=4\cdot \frac14\cdot \left(\frac34\right)^3=\frac{27}{64}\approx 0{,}4219.$$

4. Хотя бы одному достался выученный вопрос:

   $$P=1-P_4(0)=1-\left(\frac34\right)^4=\frac{175}{256}\approx 0{,}6836.$$

Ответ

а) $$\frac1{256}\approx 0{,}0039$$; б) $$\frac{81}{256}\approx 0{,}3164$$; в) $$\frac{27}{64}\approx 0{,}4219$$; г) $$\frac{175}{256}\approx 0{,}6836$$.